II Problema 2009 PNI

[Maria7]

Il quarto punto del II problema del PNI è stato risolto, vedo sui vari siti, sempre applicando la proprietà della massima distanza= corda parallela tangente. Io ho provato anche a risolverlo con il metodo classico del calcolo della distanza tra il punto P variabile sullla curva y=x^3 e il punto d'intersezione tra la retta y=-x+n e y=x e mi sembrerebbe fattibile e si trova.
Basta prendere come variabile non n ma l'ascissa x del punto P. Le derivate sono semplici da studiare. Qualcun altro ci ha provato o sto dicendo solo fesserie??

[adaBTTLS]

io ho provato a risolverlo in altro modo, ma non mi è sembrato più semplice. cercando di fare una corsa contro il tempo per proporre una soluzione, ho mischiato due metodi ed ho commesso un errore di calcolo. alla fine, riaggiustando le cose, la mia soluzione è molto simile a qualcuna di quelle pubblicate.
l'ultima versione sul sito riporta due metodi, e non è mia. a freddo ho ricostruito la prima idea che porta secondo me ad una soluzione non più semplice, ma che permette immediatamente di risalire dal risultato espresso in termini di ascissa del punto sulla cubica alle coordinate del punto sulla bisettrice del primo quadrante.
ne possiamo parlare. perché non proponi la tua soluzione?

[Maria7]

Ho qualche difficoltà nell'utilizzo dei simboli matematici. Sono spesso al pc ma devo imparare ancora tanto.
Detto P il punto sulla y=x^3 d'intersezione con r:y=-x+n e detto Q il punto d'intersezione di r con la la bisettrice y=x, si avrà P=(x,x^3) Q=(n/2,n/2) . Si tratta di ottenere il massimo della distanza PQ. Calcolando (PQ)^2 chiaramente si ottengono variabili n ed x. Invece di cercare x in funzione di n ho espresso n in funzione di x in pratica la variabile è l'ascissa del punto d'intersezione P ed otteniamo n dal sistema y=x^3 con y=-x+n quindi n=x^3+x pertanto Q=((x^3+x)/2,((x^3+x)/2).
Adesso calcolando al solito la distanza PQ al quadrato si ottiene a meno di una costante moltiplicativa x^6-2x^4+x^2.
La derivata e lo studio del segno poi sono banali.
Invero ho visto solo dopo aver scritto questo post la soluzione con la distanza di un punto da una retta, che poi non è del tutto diversa da ciò che io propongo, avevo solo visto su diversi siti la soluzione con la derivata =1

[adaBTTLS]

come dici tu avevo iniziato a fare io, ma poi ho trovato una via più semplice.
poiché la retta PQ ha coefficiente angolare -1, puoi costruire un triangolo isoscele rettangolo (o un quadrato) prendendo le parallele agli assi passanti per P o per Q. la differenza delle ascisse tra P e Q è in valore assoluto uguale alla differenza delle ordinate tra gli stessi due punti. se chiamiamo \( \displaystyle {h} \) appunto questa differenza in valore assoluto, allora \( \displaystyle {P}{Q}={h}\sqrt{{2}} \) e la lunghezza massima per la base dei rettangoli è \( \displaystyle {2}\sqrt{{2}}{h} \).
per questione di calcoli ho visto che conviene chiamare x l'ascissa del punto che tu hai chiamato P, quindi come tu hai scritto \( \displaystyle {P}{\left({x},{{x}}^{{3}}\right)} \), e, poiché la cubica è convessa, sarà \( \displaystyle {Q}{\left({x}-{h},{{x}}^{{3}}+{h}\right)} \), ma Q appartiene alla bisettrice del primo quadrante, per cui \( \displaystyle {x}-{h}={{x}}^{{3}}+{h} \), da cui \( \displaystyle {2}{h}={x}-{{x}}^{{3}} \). la lunghezza da minimizzare è \( \displaystyle {2}\sqrt{{2}}{h}=\sqrt{{2}}{\left({x}-{{x}}^{{3}}\right)} \), che ha massimo in \( \displaystyle {x}=\frac{\sqrt{{3}}}{{3}} \). la lunghezza cercata è \( \displaystyle {2}\sqrt{{2}}\frac{\sqrt{{3}}}{{3}}{\left({1}-\frac{{1}}{{3}}\right)}=\frac{{2}}{{9}}\sqrt{{6}} \), \( \displaystyle {P}{\left(\frac{\sqrt{{3}}}{{3}},\frac{\sqrt{{3}}}{{9}}\right)},{Q}{\left(\frac{{2}}{{9}}\sqrt{{6}},\frac{{2}}{{9}}\sqrt{{6}}\right)} \).

[Maria7]

Certo è sempre piacevole trovare strade risolutive eleganti e snelle.