Il Fattoriale

[snippox]

Volevo sapere se qlkuno puo' aiutarmi sulle operazioni tra fattoriali:

ad esempio volevo sapere come si risolve:

\( \displaystyle {\left(\frac{{{n}!}}{{{\left({k}!\right)}{\left({n}-{k}\right)}!}}\right)}{\left({n}-{k}\right)} \)

Cioè vorrei sapere le regole principali del tipo: \( \displaystyle {n}!\cdot{\left({n}-{1}\right)}=? \) oppure \( \displaystyle {n}!\cdot{n}=? \) ecc...

Grz 1000

[Martino]

Non capisco la domanda.
Il fattoriale è qualcosa di ben definito, cosa intendi per "regole principali"? (o anche solo per "regole"?)

\( \displaystyle {n}! \) è il prodotto di tutti gli interi da \( \displaystyle {1} \) a \( \displaystyle {n} \), cioè \( \displaystyle {n}!={n}\cdot{\left({n}-{1}\right)}! \) e \( \displaystyle {1}!={1} \).
Nel tuo caso puoi riscrivere \( \displaystyle \frac{{{\left({n}-{k}\right)}}}{{{\left({n}-{k}\right)}!}} \) come \( \displaystyle \frac{{1}}{{{\left({n}-{k}-{1}\right)}!}} \) oppure \( \displaystyle {n}!{\left({n}-{1}\right)} \) come \( \displaystyle {n}\cdot{{\left({n}-{1}\right)}}^{{2}}\cdot{\left({n}-{2}\right)}! \) ma non so a quanto ti serva.

[snippox]

bhè io devo risolvere i problemi legati al coefficiente binomiale nel senso che devo ad esempio ottenere:

\( \displaystyle {\left(\matrix{{n}\\{k}}\right)}{\left({n}-{k}\right)}={n}{\left(\matrix{{n}-{1}\\{k}}\right)} \) oppure \( \displaystyle {\left(\matrix{{n}\\{k}}\right)}{k} \) ecc...

[Steven]

Come ti ha detto Martino, non ci sono "regole", diciamo che una certa espressione in cui compaiono fattoriali puoi manipolarla a piacere secondo l'esigenza delmomento: poter eseguire semplificazioni, mettere in evidenza qualcosa etc.

Le due espressioni che hai postato, cioè \( \displaystyle {n}!{\left({n}-{1}\right)} \) e \( \displaystyle {n}!\cdot{n} \) non mi pare possano migliorarsi troppo, a meno che non hai un'esigenza particolare.
Tutto dipende da quello.

[WiZaRd]

\( \displaystyle {\left(\matrix{{n}\\{k}}\right)}{\left({n}-{k}\right)}={\frac{{{n}!}}{{{k}!{\left({n}-{k}\right)}!}}}{\left({n}-{k}\right)}={\frac{{{n}!}}{{{k}!{\left({n}-{k}\right)}{\left({n}-{k}-{1}\right)}!}}}{\left({n}-{k}\right)}={\frac{{{n}!}}{{{k}!{\left({n}-{k}-{1}\right)}!}}}={\frac{{{n}{\left({n}-{1}\right)}!}}{{{k}!{\left({\left({n}-{1}\right)}-{k}\right)}!}}}={n}{\frac{{{\left({n}-{1}\right)}!}}{{{k}{\left({\left({n}-{1}\right)}-{k}\right)}!}}}={n}{\left(\matrix{{n}-{1}\\{k}}\right)} \).