Il gabbiano e i treni

da **Nekao** » 17/01/2005, 15:45

Supponiamo che due treni A e B viaggino sullo stesso binario rettilineo uno verso l'altro, alla velocità, entrambi di 40 Km/h. Quando sono alla distanza di 80 Km un ipotetico gabbiano parte dal treno A e si dirige in moto rettilineo uniforme verso il treno B alla velocità di 80 Km/h ( il problema è immaginario, quindi trascurate il tempo perso in partenza per raggiungere la velocità di 80 Km/h, consideratela istantanea nel momento in cui i due treni sono a 80 Km l'uno dall'altro). Il gabbiamo quando raggiunge il treno B inverte istantaneamente la rotta e torna verso il treno A alla medesima velocita e così fa quando reincontra il treno A, girandosi istantaneamente per andare, sempre alla velocità di 80 Km/h verso il treno B. Quanti giri compie il gabbiamo prima che i treni si scontrino? Per giro si intende una cora dal treno A al B o viceversa.

Spero di essere stato chiaro questa volta..
Per il verme sto preparando una soluzione più chiara e la esporrò quanto prima, spero.

Sito web · da **Nidhogg** » 17/01/2005, 15:54

Scusa ma la parola 'cora' esiste oppure è un errore di scrittura? Io non l'ho mai sentita. Grazie.

Ciao, Ermanno.

"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan

da **jack** » 17/01/2005, 16:18

ehm...penso sia un errore di battitura per "corSa"
a parte questo, ho come il sospetto che il povero gabbiamo sarà costretto a vagare per sempre...perchè ogni volta deve percorrere un terzo del percorso di prima(però il gabbiano percorre una distanza finita, che è 3*80=180 Km)...

da **Nekao** » 17/01/2005, 16:33

Eh già, non riesco proprio ad essere chiaro. Era evidentemente "corsa" il termine corretto in luogo di "cora" malamente riportato. Interessante il percorso finito del gabbiano, 180 Km. E perchè mai? Come l'hai ottenuto?

da **JvloIvk** » 17/01/2005, 16:36

Pure a me viene come dice jack:
l'equazione da risolvere dovrebbe essere:
80(1/3^k -2/3^(k+1))=0
da cui moltiplicando per 3^k:
1/3=0!
Povero piccione!

Sito web · da **Nidhogg** » 17/01/2005, 16:47

Secondo me i treni si scontrerannò dopo 24 min e il gabbiano volerà per 32km.

Ciao, Ermanno.

"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan

da **JvloIvk** » 17/01/2005, 16:59

<blockquote id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">Originally posted by leonardo

Secondo me i treni si scontrerannò dopo 24 min e il gabbiano volerà per 32km.

Ciao, Ermanno.

"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote">

Forse sbaglio io,ma sei sicuro che i 2 treni si scontreranno tra 24 min?
Il treno A ha una velocità di 80km/h rispetto a B e viceversa,quindi applicando l'equazione oraria del moto rettilineo(S=vt) dovrebbe venire 1h...
Ho calcolato manualmente il tempo speso per ogni giro:
t(1)=2/3h da A a B
t(2)=2/9h viceversa (in uno spazio 80/3)
t(3)=2/81h da A e B di nuovo...
Per cui:
2h(1/3+1/9+1/27+...)=1h-->
1/3+1/9+1/27+..=1/2
Sarà possibile?

Comunque all'equazione 80(1/3^k -2/3^(k+1))=0 ci sono arrivato considerando che lo spazio una volta che il piccione inverte il moto diminuisce in modo esponenziale:
S(1)=80/3km-->(80-2/3*80)km
S(2)=80/9km-->(80/3-2/9*80)km

da **jack** » 17/01/2005, 17:25

rieccomi qua...
innanzitutto mi sono sbagliato, 3*80 fa 240 non 180...sto studiando l' ariosto, mi sono distratto [:D]...
comunque per dire che il gabbiano farà infiniti giri ragiono così:
mettiamoci dal punto di vista del treno B: lui vede un gabbiano che gli arriva a (80+40)Km/h e un treno che gli arriva a (40+40)Km/h; pertanto poichè le velocità sono direttamente proporzionali agli spazi (infatti v=s/t), allora se il gabbiano percorre una distanza di 1 unità, il treno A ne percorre i (80+40)/(40+40), cioè i due terzi dell' unità(nel nostro caso 2/3 di 80Km); adesso il gabbiano è arrivato a B e deve tornare ad A; immedesimiamoci in A: vediamo un gabbiano che fila a (80+40)Km/h e un treno a (40+40)Km/h; ma è la stessa situazione di prima, solo che il gabbiano farà meno strada, ma comunque una volta arrivato ad A, il treno B avrà compiuto i 2/3 della distanza; potremmo continuare così ad infinitum, ma solo in teoria, perchè fortunatamente lo spazio non è infinitamente divisibile...per quanto riguarda la distanza...
il gabbiano percorre 80Km+ 80/3+80/9+80/27...+80/3^n, cioè
80*(1+1/3+1/9+1/27+...+1/3^n), e quest' ultimo fattore è una serie che converge, (è una serie geometrica), al valore s=1/(1-x), e nel nostro caso x=1/3(per convergere deve essere 0<x<1, come nel nostro caso...), da cui s=1/(1- 1/3) cioè 3/2, e quindi il gabbiano percorre 80*3/2=120Km
(che è un risultato diverso da quello che ho dato prima, ma ci ho ragionato su...Ariosto permettendo)

da **Nekao** » 18/01/2005, 10:28

Complimenti Jack.
Il gabbiamo compie infiniti giri. E' facile convincersi di questo se riportiamo la situazione su assi cartesiani e scriviamo le equazioni del moto. Poniamo un sistema cartesiamo XY e fissiamo nel punto A(0,40) il treno A e il gabbiano e nel punto B(0,-40) il treno B. Entrambi i treni vanno a 40 Km/h e impiegheranno appunto 1 ora per incontrarsi nel punto C(1, 0). L'equazione del moto del treno A è
sa=40-v*t, quella del treno B sb=-40+v*t dove v=40 Km/h. In ordinata abbiamo lo spazio in Km e in ascissa il tempo in ore. Questo per quanto riguarda i treni, ma il gabbiano? Esso parte dal punto B ad una velocità di 80 Km/h quindi l'equazione del moto è sg=40-80t. E' facile trovatre il punto D in cui il gabbiano incontrerà il treno B, il quel momento l'equazione del suo moto diventerà sg=-40/3+80t. Nello stesso modo si troverà il punto E in cui il gabbiano incontrerà il treno A e così via. Si vede facilmente che il gabbiamo potrà compiere infiniti giri in un tempo finito

da **Pachito** » 18/01/2005, 11:43

<blockquote id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">Originally posted by JvloIvk

Il treno A ha una velocità di 80km/h rispetto a B e viceversa,quindi applicando l'equazione oraria del moto rettilineo(S=vt) dovrebbe venire 1h...
Ho calcolato manualmente il tempo speso per ogni giro:
t(1)=2/3h da A a B
t(2)=2/9h viceversa (in uno spazio 80/3)
t(3)=2/81h da A e B di nuovo...
Per cui:
2h(1/3+1/9+1/27+...)=1h-->
1/3+1/9+1/27+..=1/2
Sarà possibile?
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote">
Non ci fa una piega.
<blockquote id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">
Comunque all'equazione 80(1/3^k -2/3^(k+1))=0 ci sono arrivato considerando che lo spazio una volta che il piccione inverte il moto diminuisce in modo esponenziale:
S(1)=80/3km-->(80-2/3*80)km
S(2)=80/9km-->(80/3-2/9*80)km
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote">
Non ci fanno due pieghe.
<blockquote id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">
l'equazione da risolvere dovrebbe essere:
80(1/3^k -2/3^(k+1))=0
da cui moltiplicando per 3^k:
1/3=0!
Povero piccione!
<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote">
Qua non si capisce cosa vuoi dire.
<blockquote id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">Originally posted by jack
potremmo continuare così ad infinitum, ma solo in teoria, perchè fortunatamente lo spazio non è infinitamente divisibile<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote">
Sei sicuro? Non mi risulta che esistano teorie di quantizzazione dello spazio.
<blockquote id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">
per quanto riguarda la distanza...il gabbiano percorre 80Km+ 80/3+80/9+80/27...+80/3^n<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote">
C'è un errore nel tuo ragionamento...
Ti vorrei far notare che il gabbiano vola per 1h a 80 km/h.
<blockquote id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">Originally posted by Nekao
Si vede facilmente che il gabbiamo potrà compiere infiniti giri in un tempo finito<hr height="1" noshade id="quote"></blockquote id="quote">
Mi sembra che nessuno abbia ancora dato una risposta rigorosa al problema del numero di giri. Per rigoroso intendo non 'a occhio', ma con i conti (k=inf)o con una dimostrazione compiuta.

Ciao

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