Il problema dell'acciaieria

[mrmister]

ciao a tutti, sono nuovo di questo forum e quindi inizio il mio primo post con un saluto cordiale a tutti.
Io frequento l'università e nel mio corso di studi abbiamo un esame di ricerca operativa.
Il prof ci ha assegnato un esercizio che ho difficoltà a risolvere, quindi lo propongo a voi del forum per un aiuto.

una dellemaggiori acciaierie del mondo ha deciso di limitare le emissioni inquinanti nei fiumi prodotti dai suoi stabilimenti. Tre sono i proncipali elementi inquinanti dell'aria:piombo, ossido di zolfo e idrocarburi.Le leggi del paese in cui sorgono gli stabilimenti richiedono che le emissioni attuali vengano ridotte secondo i valori seguenti:
piombo-->70(riduzione richiesta in milioni di kg), ossidi di zolfo--> 180(riduzione richiesta in milioni di kg), idrocarburi-->135(riduzione richiesta in milioni di kg).
la direzione richiede che venga studiato il modo di effettuare tali riduzioni con io minimo costo. lacciaieria ha 2 principali sorgenti di inquinanti:icrogiuli per la fusione di minerali grezzi e le fornaci.la riduzione degli inquinanti si può ottenere tramite tre diversi procedimenti: 1)aumentare l'altezza delle ciminiere,2)utilizzare filtri appropriati,3)usare miscele di carburanti più pulite.ciascuno di questi metodi ha dei limiti di impiego, mapossono essere impiegati contemporaneamente in differenti percentuali.di seguito si mostra come le emissioni annuali possono essere ridotte tramite l'utilizzo di ciascuna delle suddette tecniche:
altezza ciminiera carburanti ecologici filtri
inquinanti crogiuli| fornaci crogiuli| fornaci crogiuli| fornaci
piombo 12 | 9 25 | 20 17 | 13
ossido di zolfo 35 | 42 18 | 31 56 | 49
idrocarburi 37 | 53 28 | 24 29 | 20

In pratica l'utilizzo di ogni tecnica puo essere graduata in modo da ottenere una riduzione continua da 0 fino alvalore presente nella lista (70,180,135).la riduzione ottenuta da ciascun metodo è indipendente dall'applicazione degli altri metodi.si deve identificare una combinazione dei tre metodi che che determini la riduzione di inquinanti desiderata, minimizzando il costo complessivo dell'operazione.I costi associati a ciascun metodo (annuale in milioni di euro), si riferiscono all'utilizzo del 100% di ogni metodo , per un anno: altezza delle ciminiere-->10(crugioli) 12(fornaci) ; carburanti ecologici -->8(crugioli) 7(fornaci) ; filtri -->12(crugioli) 8(fornaci).
Il priblema è quindi quello di determinare quale frazione di ogni songolo metodo deve essere applicata x i crogiuli e fornaci al fine di ridurre le emissioni inquinanti entro i limiti di legge, minimizzando il costo tot annuodell'intervento.

Datemi una mano per favore, grazie.

[hamming_burst]

Ciao,

A me sembra possibile scrivere il problema come funzione obiettivo di un problema di minimo di programmazione lineare.
Ci sono alcuni pezzi che forse sarà un po' difficile scrivere, ma si può provare.

Prima di tutto riscrivi meglio il testo, con un po' di tabulazione, tipo la tabella è inguardabile, pure il secondo pezzo.
Fatto questo proviamo a scrivere qualcosa, sempre che non sbagli l'approccio in LP.

domanda: devi utilizzare una particolare tecnica di ottimizzazione o di ricerca locale?

[mrmister]

una delle maggiori acciaierie del mondo ha deciso di limitare le emissioni inquinanti nei fiumi prodotti dai suoi stabilimenti. Tre sono i proncipali elementi inquinanti dell'aria:piombo, ossido di zolfo e idrocarburi. Le leggi del paese in cui sorgono gli stabilimenti richiedono che le emissioni attuali vengano ridotte secondo i valori seguenti:

INQUINANTE-------------- RIDUZIONE RICHIIESTA(milioni di kg)
piombo---------------------------70
ossidi di zolfo---------------------180
idrocarburi-----------------------135

la direzione richiede che venga studiato il modo di effettuare tali riduzioni con io minimo costo. lacciaieria ha 2 principali sorgenti di inquinanti:i crogiuli per la fusione di minerali grezzi e le fornaci. la riduzione degli inquinanti si può ottenere tramite tre diversi procedimenti:
1)aumentare l'altezza delle ciminiere,
2)utilizzare filtri appropriati,
3)usare miscele di carburanti più pulite.
ciascuno di questi metodi ha dei limiti di impiego, ma possono essere impiegati contemporaneamente in differenti percentuali.di seguito si mostra come le emissioni annuali possono essere ridotte tramite l'utilizzo di ciascuna delle suddette tecniche:

----------------------ALTEZZA CIMINIERE--------------CARBURANTI ECOLOGICI--------------FILTRI
INQUINANTI----------crogiuli | fornaci-------------------crogiuli| fornaci----------------------crogiuli| fornaci
piombo---------------------12 | 9-----------------------------25 | 20--------------------------------17 | 13
ossido di zolfo--------------35 | 42----------------------------18 | 31--------------------------------56 | 49
idrocarburi-----------------37 | 53---------------------------- 28 | 24--------------------------------29 | 20

In pratica l'utilizzo di ogni tecnica puo essere graduata in modo da ottenere una riduzione continua da 0 fino alvalore presente nella tabella .la riduzione ottenuta da ciascun metodo è indipendente dall'applicazione degli altri metodi.si deve identificare una combinazione dei tre metodi che che determini la riduzione di inquinanti desiderata, minimizzando il costo complessivo dell'operazione.I costi associati a ciascun metodo (annuale in milioni di euro), si riferiscono all'utilizzo del 100% di ogni metodo , per un anno:

----------------------------crogiuoli------------fornaci
altezza delle ciminiere--------10-------------------12
carburanti ecologici-----------8-------------------7
filtri-------------------------12-------------------8

Il problema è quindi quello di determinare quale frazione di ogni songolo metodo deve essere applicata x i crogiuli e fornaci al fine di ridurre le emissioni inquinanti entro i limiti di legge, minimizzando il costo tot annuodell'intervento.

[mrmister]

non devo utilizzare nessuna particolare tecnica di ottimizzazione o di ricerca locale.
grazie

[hamming_burst]

scusa ma è corretto il testo?

Perchè trovo una contraddizione:

- la riduzione ottenuta da ciascun metodo è indipendente dall'applicazione degli altri metodi.
- possono essere impiegati contemporaneamente in differenti percentuali

Ho pensato ben a qualcosa, ma se le frasi sopra sono corrette, non riesco a confrontare le variabili. Si dovrebbe avere una variabile per ogni singolo metodo, diviso per gli inquinanti e i crogiuli, cioè 3(inquintnati)x6(metodi/crogiuli-fornaci) variabili.

PS: ma che tecniche hai studiato in questo corso, avrai dei modi per risolverlo, di solito è collegato con l'argomento affrontato. PL la hai fatta?

[cenzo]

Ciao, a me sembra che le variabili decisionali possano essere solo 6 (3 procedimenti * 2 sorgenti di inquinanti crogiuoli/fornaci).
I tre inquinanti (piombo, ecc) li utilizzerei solo per i 3 vincoli sulla riduzione richiesta.

@ mrmister
Prova a formulare il modello in programmazione lineare, e scrivici i tuoi dubbi

[hamming_burst]

Mi son riletto un attimo il primo post e il terzo.

All'inizio non riuscivo a capire come si potesse fare per unire le variabili decisionali, essendo che i punti della tabella (metodi/inquinanti) pensavo fossero degli intervalli (0,limite), non delle costanti.

Adesso vorrei capire come stanno le cose, perchè scrivi due cose differenti nei post:

- In pratica l'utilizzo di ogni tecnica puo essere graduata in modo da ottenere una riduzione continua da 0 fino alvalore presente nella lista (70,180,135)
- In pratica l'utilizzo di ogni tecnica puo essere graduata in modo da ottenere una riduzione continua da 0 fino alvalore presente nella tabella [metodi/inquinanti]

Allora qual è quella corretta, perchè non mi torna il problema.

I valori nella tabelli metodi/inquinanti sono valori costanti di riduzione in milioni di kg annui. E non riduzioni massime in percentuali, es, al massimo (da 0 a 12) si possono ridurre gli inquinanti del piombo di 12 milioni di kg. Invece è con questo metodo si riducono 12 milioni di kg annui sempre.

[cenzo]

- In pratica l'utilizzo di ogni tecnica puo essere graduata in modo da ottenere una riduzione continua da 0 fino alvalore presente nella lista (70,180,135)
- In pratica l'utilizzo di ogni tecnica puo essere graduata in modo da ottenere una riduzione continua da 0 fino alvalore presente nella tabella [metodi/inquinanti]

Allora qual è quella corretta, perchè non mi torna il problema.

In effetti nella formattazione del primo post è cambiato anche il testo! ...
Io ho ragionato in base alla seconda scrittura.

Ho individuato le 6 variabili decisionali: \( \displaystyle {x}_{{1}} \) (ciminiera/crogiuolo), \( \displaystyle {x}_{{2}} \) (ciminiera/fornace), ..., \( \displaystyle {x}_{{6}} \) (filtro/fornace)
come la frazione (\( \displaystyle {0}\le{x}_{{i}}\le{1} \)) di metodo da usare.

Ad esempio:
Per \( \displaystyle {x}={1} \) applicherò al massimo il primo metodo (cimineira/crogiuolo) ottenendo una riduzione di 12 milioni kg annui di Piombo.
Per \( \displaystyle {x}={0.5} \) applicherò parzialmente il primo metodo (cimineira/crogiuolo) ottenendo una riduzione di 6 milioni kg annui di Piombo.

Esprimerei pertanto il vincolo sulla riduzione di Piombo come: $12x_1+9x_2+25x_3+20x_4+17x_5+13x_6>=70