Il serbatoio bucato

[g.schgor]

Sono ammirato nel vedere la disinvoltura con cui in quest’angolo di Forum vengono trattati derivate ed integrali, ed allora mi permetto di proporre un problemino, sperando che nessuno si offenda per la sua semplicita’.

Supponiamo di avere un serbatoio di forma cilindrica, ad asse verticale, alto 5 m (H) che, pieno fino alla sommita’, contiene
10 m^3 (V) di acqua.
Al centro del suo fondo (di area A) c’e’ un foro circolare di area
2 cm^2 (S).
Si chiede in quanti minuti (T) il serbatoio si svuota.


G.Schgör

[g.schgor]

(commenti al problema)
La scelta di porre questo problema nell’angolo del Forum dedicato
agli universitari, non e’ casuale.
La mia curiosita’ non e’ tanto conoscere il risultato numerico, quanto
l’approccio che gli studenti (in particolare quelli d’Ingegneria)
utilizzeranno per la sua soluzione.
La richiesta dell’approssimazione al minuto (che pare adeguata al
problema) puo’ suggerire qualcosa?
Ho infatti in serbo delle sorprese (almeno credo che lo saranno per molti).

[mica81]

io faccio ing informatica e questo problema è rivolto ad altre branche dell'ingegneria. però ci provo ugualmente!

la velocità dell'acqua che sgorga dal foro è pari a sqrt(mgh) dove h è l'altezza da terra del foro. è ignota ma sicuramente il serbatoio è rialzato da terra poichè se non lo fosse, l'acqua non potrebbe uscire!
al posto di mg possiamo tranquillamente mettere il peso poichè sappiamo che il serbatoio contiene 10 metri cubi d'acqua ovvero 10 tonnellate di peso ovvero circa 98000 newton.
la portata sarà quindi: P = av dove a è l'area del foro e v la velocità appena calcolata espressa in cm/s
trovata la portata (misurata in centimetri cubi al secondo), possiamo determinare il tempo:
t = 100000 cm^3 / P (ho trasformato i metri cubi in cm cubi)
conoscendo il tempo in secondi possiamo determinare il tempo in minuti dividendo per 60.
NOTA:
il serbatoio si svuota e quindi la quantità d'acqua diminuisce col tempo. questa diminuzione comporta forse una diminuzione della velocità di uscita e l'allungarsi del tempo necessario al completo svuotamento. perchè? perchè diciamo al tempo t=0 di apertura del foro gravano su 2 cm^2 10 tonnellate d'acqua...io penso che la velocità di uscita non sia subito pari a sqrt(mgh) ma sia molto maggiore. successivamente la quantità d'acqua diventa tale che possiamo usare il procedimento prima descritto. in poche parole io penso che sia meglio impostare una equazione differenziale. ci ho pensato ma non so come fare...mi era venuto in mente di applicare l'equazione del razzo in cui la quantità di combustibile diminuisce col passare del tempo ma il serbatoio resta fermo, non è che si muove!
non so, io ho dato la mia soluzione.

[MaMo]

Essendo S << A, la velocità di efflusso è data dalla legge di Torricelli:
v = sqrt(2gh)
dove h è l'altezza del liquido nel recipiente.
La portata è perciò:
P = dV/dt = Sv = S*sqrt(2gh)
Essendo dV = - A*dh, si ottiene la seguente equazione differenziale:
- A*dh/dt = S*sqrt(2gh)
Separando le variabili si ha:
dt = - A*dh/(S*sqrt(2gh))
Integrando si ottiene:
T = - (A/S*sqrt(2g))INT(da h a 0)[h^(-1/2)dh]
Il tempo di svuotamento diventa perciò:
T = (A/S)*sqrt(2h/g) oppure:
T = (V/S)*sqrt(2/gh) = 168 minuti.

[g.schgor]

(risposta a mica81)
Attento! L'altezza h nella formula della velocita' d'uscita
e' riferita alla distanza fra foro e superficie dell'acqua
nel serbatoio, e non alla distanza del foro dal suolo.
Per il resto non sei caduto nella trappola di considerare
costante questa velocita' (come nel classico problema della
vasca da bagno da scuola media).

(risposta a MaMo)
Soluzione esatta.
Poiche' pero' il vero scopo di questo topic e' la soluzione
di problemi mediante un uso piu' diretto del calcolatore,
ritengo opportuno dare una descrizione piu' dettagliata
(vedi prossimo post)

[g.schgor]

(soluzione del problema del 11/1/05)
La prima relazione e’ l’area della sezione del serbatoio: A = V/H
Osserviamo poi che la velocita’ di uscita dal foro dipende dall’altezza del livello (h),
secondo la fornmula di Torricelli v = (2gh)^(1/2),
ma che a sua volta h dipende dal grado di svuotamento,
quindi dal tempo trascorso (t).
(per chi non la ricordasse g e’ l’accelerazione di gravita’ = 9.81 m/s^2)

Possiamo quindi considerare che ad un generico livello h ,
vale la relazione fra i volumi: A*dh = q*dt , dove q e’ la portata
del flusso in uscita da S al tempo t, cioe’ q = S*v.
(Il volume d’acqua che diminuisce il livello h e’ uguale quello che esce).

In definitiva, la relazione che lega l’altezza del livello (h) al tempo (t) e’ di tipo dfferenziale:
dh/dt = q/A = S*(2gh)^(1/2) /A

Da questa si puo’ ottenere, per integrazione, t in funzione di h.
L’ integrale (per h che varia da H a 0, e diviso per 60 ) da’quindi il tempo di svuotamento T (in minuti).

Quello che vorrei ora sottolineare e’ che lo svolgimento effettivo del
problema puo’ essere eseguito utilizzando un calcolatore.
Chiedendo scusa ai matematici puri, vorrei infatti insistere sulla
possibilita’ di impiegare il calcolatore anche per risolvere integrali, utilizzando il calcolo simbolico.
(Sarebbe interessante fare una piccola indagine su quanti studenti conoscono questa possibilita’ !).

Di seguito e’ riportato lo svolgimento del problema in MathCad, che
credo non richieda ulteriori commenti da parte mia.



Chiedo invece i vostri commenti.
(Questo e’ solo l’inizio. Ho intenzione di approfondire l’argomento,
se trovo interesse da parte vostra).
Sapete per esempio ricavare l’andamento del livello h in funzione
del tempo t di svuotamento?

[karl]

karl.

[g.schgor]

Bravo karl (come sempre!), ma la mia intenzione era di dare un esempio di utilizzo diretto del calcolatore con il programma MathCad, e saro’ quindi meno sintetico.
Ecco la procedura:



Un’osservazione importante che ne consegue e’ che per tracciare la curva h=f(t) ho dovuto “discretizzare“ la funzione, ricavandone N punti (da cui poi la grafica traccia una linea continua).

Il segreto della “digitalizzazione” e’ tutto qui.
Ma e’ la base dei metodi cosiddetti “alle differenza finite”, che permettono
di svolgere calcoli complicati con procedure elementari.
E’ quello che vedremo alla prossima ……puntata.
Intanto vi chiedo : qual’e’ il valore di h a cui corrisponde lo stesso tempo di svuotamento, supponendo che la velocita’ di uscita rimanga costante? (come se tutto il volume del serbatoio fosse concentrato a quel livello).

[Marco83]

Allota, il tempo t è una costante, perciò avremo:
t*v*S=h*A
ma v=sqrt(2*g*h)
quindi otteniamo
t*sqrt(2*g*h)*S=h*A
elevando al quadrato e semplificando:
h=2*g*(t*S/A)^2=19.9998 circa 20 m
Il discorso sulle differenze finite per problemi di cauchy è interessante, anche se secondo me attualmente sarebbe ancora più stimolante introdurre i metodi a elementi finiti o i metodi ai volumi finiti, visti i passi da gigante che si stanno facendo in tutti i campi grazie a queste tecniche.

[g.schgor]

(risposta a Marco83)
Dunque, io volevo sapere a qual'era un'altezza equivalente (he)
a cui far corrispondere il tempo totale, supponendo tutto il
volume concentrato a quell'altezza (quindi a v=cost).
Allora T*sqrt(2*g*he)*S = H*A (tutto il volume del serbatoio)
ma, essendo T =(2*sqrt(H))/K (con K=(S*sqrt(2*g)/A
risulta (risparmio i passaggi) he = H/4

Sono poi molto interessato dalle tue osservazioni sugli elementi finiti
(io non sono un teorico e forse anche non aggiornato sulle novita')
Chiedo pertanto la tua collaborazione per chiarire eventuali mie
imprecisioni in materia.