Imgf e rango di una matrice....

[scadany89]

Ciao a tutti....ho due dubbi da chiedervi....1)innanzitutto quando in un problema di algebra mi viene richiesto di "studiare l'endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso Im f e Ker f", riesco a studiarlo l'endomorfismo ma nn capisco come si trova l'Img f, qualcuno me lo può spiegare in maniera chiara???grazie mille.....

2)L'altro mio problema è una matrice di cui il rango non mi è chiaro: la matrice è
1 1 0 0
1 1 1 0
0 0 0 0
1 1 1 3 in un esercizio svolto mi dice che questa matrice ha rango 3 ma non capisco perchè dato che il determinante di un suo qualsiasi minore di ordine 3 mi viene 0....grazie infinite

[Gatto89]

E' il tuo primo post, per il futuro leggi il regolamento e come si scrivono le formule per rendere più facile il compito a chi vuole aiutarti.

1) Scrivi la matrice riferita alla funzione rispetto a una base (se puoi scegliere ed è possibile, in genere è comodo la base canonica), \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)} \) è lo spazio generato dalle colonne della matrice.

2) \( \displaystyle {M}{\left({124}{\mid}{134}\right)} \) ha determinante diverso da 0.

[gago]

Ciao a tutti....ho due dubbi da chiedervi....1)innanzitutto quando in un problema di algebra mi viene richiesto di "studiare l'endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso Im f e Ker f", riesco a studiarlo l'endomorfismo ma nn capisco come si trova l'Img f, qualcuno me lo può spiegare in maniera chiara???grazie mille.....

2)L'altro mio problema è una matrice di cui il rango non mi è chiaro: la matrice è
1 1 0 0
1 1 1 0
0 0 0 0
1 1 1 3 in un esercizio svolto mi dice che questa matrice ha rango 3 ma non capisco perchè dato che il determinante di un suo qualsiasi minore di ordine 3 mi viene 0....grazie infinite

il rango lo puoi calcolare così:
riduci la matrice a squadra e le righe diverse da tutti zeri ti danno il rango. Nel tuo caso c'è una riga di zeri e le altre tre righe non sono linearmente dipendenti(cioè non sono una multiplo di un'altra oppure una somma di altre due) quindi il rango è 3.
Se ad esempio avevi al posto della prima riga 2 2 2 6 il rango della matrice era 2 perchè la prima riga era multiplo dell'ultima e perchè avevi una riga di zeri.

[TSUNAMI]

rango della matrice al variare di t

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}-{3}{t}&{t}+{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}{\left({t}+{1}\right)}&{t}+{1}&{0}\\{1}&{1}&{1}&-{1}}\right)} \)

volevo chiedervi come procedere e come arrivare al risultato.
Avevo pensato di prendere un minore 2x2 e calcolarne il determinante, quindi orlare il minore e calcolare ancora il determinante.

mi affido a voi per trovare la soluzione..

grazie mille

[gago]

rango della matrice al variare di t

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}-{3}{t}&{t}+{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}{\left({t}+{1}\right)}&{t}+{1}&{0}\\{1}&{1}&{1}&-{1}}\right)} \)

volevo chiedervi come procedere e come arrivare al risultato.
Avevo pensato di prendere un minore 2x2 e calcolarne il determinante, quindi orlare il minore e calcolare ancora il determinante.

mi affido a voi per trovare la soluzione..

grazie mille

no è piu facile portare la matrice a squadra.

Ti ricordo le operazioni consentite su una matrice:
_Un'equazione è sostituibile con la stessa equazione moltiplicata per un k appartenente a \( \displaystyle \mathbb{R} \)
_Un'equazione è sostituibile con la stessa equazione sommata ad un'altra
Quindi in generale, combinando queste possibilità possiamo sostituire un'equazione con la stessa sommata ad un multiplo di un'altra.

Inoltre il rango di una matrice non cambia se si scambiano due righe o colonne.

per il tuo caso:

1)cambi innanzitutto la prima riga con l'ultima: \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{2}{\left({t}+{1}\right)}&{t}+{1}&{0}\\{1}-{3}{t}&{t}+{2}&{1}&{0}}\right)} \)

2)la terza la sommi alla prima moltiplicata per -(1-3t): \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{2}{\left({t}+{1}\right)}&{t}+{1}&{0}\\{0}&{4}{t}+{1}&{3}{t}&{1}-{3}{t}}\right)} \)

3)la terza riga la sommi alla seconda moltiplicata per -(4t+1)/2(t+1): \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{2}{\left({t}+{1}\right)}&{t}+{1}&{0}\\{0}&{0}&\frac{{{2}{t}+{1}}}{{2}}&{1}-{3}{t}}\right)} \)

ora noterai che se \( \displaystyle {t}=-{1} \) la matrice ti diventa: \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{\left(-\frac{{1}}{{2}}\right)}&{4}}\right)} \) che ha rango=2 avendo una riga nulla. Per ogni altro k invece rango=3.

[TSUNAMI]

grazie mille, alla fine la sluzione era semplice, ho pensato fosse più complicato.
Avrei da proporti questa variante
\( \displaystyle {\left(\matrix{{t}&{2}{t}&{0}&{0}\\{1}&{t}+{1}&{4}-{3}{t}&{0}\\{1}&{1}&{1}&-{1}}\right)} \)

come hai detto

1) cambio innanzitutto la prima riga con l'ultima: \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{1}&{t}+{1}&{4}-{3}{t}&{0}\\{t}&{2}{t}&{0}&{0}}\right)} \)

2) la seconda riga la sommo alla prima moltiplicata per (-1): \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{t}&{3}-{3}{t}&{1}\\{t}&{2}{t}&{0}&{0}}\right)} \)

3)la terza la sommo alla prima moltiplicata per -(t): \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{t}&{3}{\left({1}-{t}\right)}&{1}\\{0}&{t}&-{t}&{t}}\right)} \)

4)la terza riga la sommo alla seconda moltiplicata per -(1): \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{t}&{3}{\left({1}-{t}\right)}&{1}\\{0}&{0}&-{3}&{t}-{1}}\right)} \)

non riesco ad annullare nessuna riga, come procedere in tal caso?
grazie ancora!

[gago]

grazie mille, alla fine la sluzione era semplice, ho pensato fosse più complicato.
Avrei da proporti questa variante
\( \displaystyle {\left(\matrix{{t}&{2}{t}&{0}&{0}\\{1}&{t}+{1}&{4}-{3}{t}&{0}\\{1}&{1}&{1}&-{1}}\right)} \)

come hai detto

1) cambio innanzitutto la prima riga con l'ultima: \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{1}&{t}+{1}&{4}-{3}{t}&{0}\\{t}&{2}{t}&{0}&{0}}\right)} \)

2) la seconda riga la sommo alla prima moltiplicata per (-1): \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{t}&{3}-{3}{t}&{1}\\{t}&{2}{t}&{0}&{0}}\right)} \)

3)la terza la sommo alla prima moltiplicata per -(t): \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{t}&{3}{\left({1}-{t}\right)}&{1}\\{0}&{t}&-{t}&{t}}\right)} \)

4)la terza riga la sommo alla seconda moltiplicata per -(1): \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{t}&{3}{\left({1}-{t}\right)}&{1}\\{0}&{0}&-{3}&{t}-{1}}\right)} \)

non riesco ad annullare nessuna riga, come procedere in tal caso?
grazie ancora!

Se non c'è nessuna riga che si annulla il rango è 3

[TSUNAMI]

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{1}&{1}&-{1}\\{0}&{t}&{3}{\left({1}-{t}\right)}&{1}\\{0}&{0}&-{3}&{t}-{1}}\right)} \)

non riesco ad annullare nessuna riga, come procedere in tal caso?
grazie ancora!

Se non c'è nessuna riga che si annulla il rango è 3

per t=0 ho le ultime due righe proporzionali quindi il rango è 2.