Quest'oggi vi propongo un esercizio di geometria differenziale, ambito in cui mi sto addentrando da solo, studiando un libro preso in biblioteca, ma che trovo molto interessante!
L'esercizio chiede di determinare quale porzione della sfera unitaria è coperta dall'immagine della mappa di Gauss della superficie
\[
z = x^2 + y^2.
\]
Per prima cosa, stabilità l'orientazione positiva come quella per cui il vettore normale punta verso il senso negativo di \(z\), immagino la situazione e penso che la risposta sia "la semisfera con \(z < 0\)".
Passando ai calcoli, parametrizzo la superficie come
\[
x(u,v) = \begin{pmatrix} u \\ v \\ u^2 + v^2 \end{pmatrix}
\]
e cerco il vettore normale facendo
\[
\partial_u x \wedge \partial_v x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2u \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2u \\ -2v \\ 1 \end{pmatrix}
\]
e lo normalizzo, scegliendo i segni per avere l'orientazione come detto sopra ed ottengo, detto \(\zeta = \sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}\)
\[
n = \begin{pmatrix} \frac{2u}{\zeta} \\ \frac{2v}{\zeta} \\ -\frac{1}{\zeta} \end{pmatrix}.
\]
Ora faccio divergere \(u\) e \(v\), ma qui salta fuori la mia impreparazione sui limiti in più dimensioni:
\[
n_\infty = \lim_{u,v \to \infty, \infty}
\begin{pmatrix}
\frac{2u}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}} \\
\frac{2v}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}} \\
-\frac{1}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}}
\end{pmatrix}
\]
Questo come lo risolvo?
So che il limite potrebbe dipendere da come \(u\) e \(v\) divergono, se lungo una retta del tipo \(v = mu\) o una parabola o altro...
Ciò che mi aspettavo era di riuscire a concludere che nelle condizioni del passaggio al limite il versore giacesse nel piano \(xy\), e questo è abbastanza evidente dalla terza componente, che tende a \(0^-\), ma questo mi basta per concludere?
La situazione sembra complicata, ma è quella giusta in cui addentrarsi?
Alternativamente, ho pensato di passare tutto in coordinate polari con le solite condizioni
\begin{cases}
x = \rho \cos \varphi \sin \psi \\
y = \rho \sin \varphi \sin \psi \\
z = \rho \sin \varphi
\end{cases}
e nel sistema appena scritto, sostituendo ai membri di sinistra le componenti di \(n\) e ricordando che \(\rho = 1\), ricavo
\begin{cases}
\sin \varphi = \frac{1}{\zeta} \\
\sin \psi = -2v \\
\cos \varphi = \frac{u}{v\zeta}
\end{cases}
ma già qui mi accorgo di qualcosa che non va, infatti la seconda equazione mi dice che se faccio divergere \(v\) vado fuori dal codominio del seno...
Mi sembra un bel casino, ed ho il presentimento che ci sia qualche errore di calcolo, da qualche parte.
Chi mi aiuta?
Grazie a tutti in anticipo!
