Immersione dei gruppi nei gruppi alterni

[angus89]

Dimostrare \( \displaystyle {A}_{{{n}+{2}}} \) ha un sottogruppo isomorfo a \( \displaystyle {G} \), dove \( \displaystyle {G} \) è un grupo con \( \displaystyle {n} \) elementi.

Sinceramente non ho molte idee per svolgerlo, l'idea è di ridattare Cayley in qualche modo.
Tra le poche idee, magari sbagliate , c'è l'intenzione di capire quale è la possibile struttura di \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({G}\right)} \), quindi mi pongo le seguenti domande:
-Dato un generatore di ordine \( \displaystyle {h} \) esiste un isomorfismo che lo spostat in un generatore dello stesso ordine e lascia fisso il resto?
Per i gruppi abeliani sì, ma in generale?

[Martino]

Per il teorema di Cayley, quello che dici è equivalente a dimostrare che \( \displaystyle {S}_{{n}} \) si immerge in \( \displaystyle {A}_{{{n}+{2}}} \),... e questo si può fare anche a mano!

[angus89]

Bè il fatto che sia equivalente non mi era scontato, infatti immagino possa succedere che un gruppo \( \displaystyle {G} \) sia tale che ogni suo sottogruppo si immerga in un gruppo \( \displaystyle {G}' \) ma che \( \displaystyle {G} \) non si immerga in \( \displaystyle {G}' \)

Ad ogni modo questo non è il caso del problema.
Sarà che non è giornata, ma non mi riesce di concludere (avevo già provato quella strada).
Come immergo \( \displaystyle {S}_{{n}} \) in \( \displaystyle {A}_{{{n}+{2}}} \)?
L'idea è ho due numeri in più...
Ma non mi riesce di chiudere

[Martino]

Beh in effetti a priori è solo sufficiente, diventa equivalente a posteriori...

Hai due simboli in più.. quindi se lasci fisse le permutazioni pari, quelle dispari come fai a "correggerle"?

[angus89]

ok tutto chiarito, mi basta mandare le permutazioni pari in se stesse e le dispari in se stesse moltiplicate per \( \displaystyle {\left({a}_{{{n}+{1}}},{a}_{{{n}+{2}}}\right)} \)
La prima volta che l'ho pensata mi sembrava non funzionasse, che non fosse un omomorfismo, effettivamente lo è ed è anche banale vederlo.
Grazie dell'auito

in merito all'altra domanda

-Dato un generatore di ordine h esiste un isomorfismo che lo sposta in un generatore dello stesso ordine e lascia fisso il resto?
(ovvero che permuta solo i due generatori)
Per i gruppi abeliani sì, ma in generale?

Cosa si può dire?
Per me la risposta è negativa in generale (specie se il gruppo non è abeliano)

Ad esempio prendiamo i quaternioni, generati appunto da \( \displaystyle \lt{i},{j},{k}\gt \)
poniamo che esista l'automorfismo tale che \( \displaystyle {f{{\left({i}\right)}}}={k} \) e \( \displaystyle {f{{\left({k}\right)}}}={i} \)
Allora avremo che
\( \displaystyle {f{{\left({i}\cdot{j}\right)}}}={f{{\left({k}\right)}}}={i} \)
mentre
\( \displaystyle {f{{\left({i}\cdot{j}\right)}}}={f{{\left({i}\right)}}}\cdot{f{{\left({j}\right)}}}={k}\cdot{j}=-{i} \)

Per i gruppi abeliani invece dovrebbe esser esatto, vero?

Poi già che il post è aperto, esiste davvero un gruppo con la proprietà prima detta?
Ovvero

immagino possa succedere che un gruppo G sia tale che ogni suo sottogruppo si immerga in un gruppo G' ma che G non si immerga in G'

Bè subito mi viene da pensare a \( \displaystyle {Z}_{{4}} \), tutti i suoi sottogrippi propri (non sono tantissimi) si immergono in \( \displaystyle {Z}_{{2}} \) ma lui assolutamente non lo fa.

[Martino]

A occhio sembra vero per i gruppi abeliani, fermo restando che quando dici generatori intendi un insieme minimale di generatori.