Incremento, applicazioni lineari, continuità

[dissonance]

Supponiamo di avere la funzione \( \displaystyle {s}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), che pensiamo come legge oraria del moto di una particella. Su un libro di Fisica 1 ho trovato spesso affermazioni come questa:
"Supponiamo che la particella percorra distanze uguali in intervalli di tempo uguali. Allora \( \displaystyle {s} \) è un polinomio di 1° grado."
Vorrei dimostrare nel dettaglio questa proposizione.

Per semplicità pensiamo \( \displaystyle {s}{\left({0}\right)}={0} \). Traducendo le ipotesi in linguaggio formale, possiamo dire che:
"per ogni \( \displaystyle {t},{h}\in\mathbb{R} \) l'incremento intorno all'istante \( \displaystyle {t} \) è uguale all'incremento intorno all'istante \( \displaystyle {0} \)", nel senso che
\( \displaystyle {s}{\left({t}+{h}\right)}-{s}{\left({t}\right)}={s}{\left({h}\right)} \) avendo supposto \( \displaystyle {s}{\left({0}\right)}={0} \).
Mentre la tesi, sempre grazie a \( \displaystyle {s}{\left({0}\right)}={0} \), è "\( \displaystyle {s} \) è lineare".

Ho l'impressione che l'autore supponga implicitamente che \( \displaystyle {s} \) sia una funzione continua. Perché, se è ovvio che \( \displaystyle {s} \) è additiva, non mi pare altrettanto ovvio che sia omogenea.
Certamente lo sarà per scalari interi:
\( \displaystyle {s}{\left({n}{t}\right)}={s}{\left({t}+{t}+\ldots+{t}\right)}={s}{\left({t}\right)}+{s}{\left({t}\right)}+\ldots+{s}{\left({t}\right)}={n}{s}{\left({t}\right)} \);
e anche per scalari razionali:
\( \displaystyle {s}{\left({t}\right)}={s}{\left({n}\cdot\frac{{1}}{{n}}{t}\right)}={n}{s}{\left(\frac{{1}}{{n}}{t}\right)}\ \Rightarrow\ \frac{{1}}{{n}}{s}{\left({t}\right)}={s}{\left(\frac{{1}}{{n}}{t}\right)} \);
ma cosa ci permette di estenderci agli scalari reali, se non il supporre a priori che \( \displaystyle {s} \) sia continua?

[Fioravante Patrone]

Niente.

Ma come saprai funzioni di questo tipo, o sono lineari o non sono neanche misurabili, altro che continue.
E un fisico come fa ad accorgersene? Troppo "wild type" per le sue forze.

Insomma, abbi pietà dei fisici.

[dissonance]

Quindi questo, agli occhi di un fisico, è un classico sofisma da matematici! Come dargli torto... Il guaio (per me) è che ora mi sono incuriosito: è possibile dimostrare che una funzione \( \displaystyle \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) additiva e misurabile è lineare?

[Fioravante Patrone]

Sì, mi risulta che è possibile. Ma non so indicarti un riferimento. L'avevo già cercato ieri senza successo.

Che sia vero lo trovi affermato, ad esempio, qui:
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm157/fm15712.pdf
(a pag. 3)
e qui:
http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=a ... =3109.0001

Ho trovato anche questo (che non cita però la misurabilità):
http://www.math.rutgers.edu/~useminar/cauchy.pdf

PS. Ecco forse un buon riferimento, con bibliografia:
http://mathworld.wolfram.com/CauchyFunc ... ation.html

PPS. Ci siamo!
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~ssaito ... Cauchy.pdf

[Thomas]

se è un libro di fisica uno, probabilmente si supponeva che la funzione fosse "regolare a piacere" , di modo che si poteva derivare la relazione che hai scritto e trovare la derivata costante ...

cmq un controesempio eliminando qualsiasi ipotesi sulla funzione è in ogni caso complicato (almeno per me, poi non so) e se ricordo bene quello che avevo visto era squisitamente algebrico e passava per una base di R come spazio vettoriale su Q (base la cui esistenza non mi pare ovvia e ci vuole un pò di teoria)...

cmq la dimo di Banach è una figata....

ciao!

[ViciousGoblin]

se è un libro di fisica uno, probabilmente si supponeva che la funzione fosse "regolare a piacere" , di modo che si poteva derivare la relazione che hai scritto e trovare la derivata costante ...

cmq un controesempio eliminando qualsiasi ipotesi sulla funzione è in ogni caso complicato (almeno per me, poi non so) e se ricordo bene quello che avevo visto era squisitamente algebrico e passava per una base di R come spazio vettoriale su Q (base la cui esistenza non mi pare ovvia e ci vuole un pò di teoria)...

cmq la dimo di Banach è una figata....

ciao!

In effetti per costruire un controesempio bisogna prendere una base di \( \displaystyle \mathbb{R} \) come spazio vettoriale su \( \displaystyle \mathbb{Q} \) (che deve per forza avere la cardinalita' del continuo): una volta che si ha una base \( \displaystyle {\left({v}_{\lambda}\right)} \) si puo' definire
ad arbitrio \( \displaystyle {s}{\left({v}_{\lambda}\right)} \) , per esempio zero su tutti i \( \displaystyle {v}_{\lambda} \) tranne uno, che chiamiamo \( \displaystyle {\overline{{v}}} \). Dopo di che \( \displaystyle {s} \) e' automaticamente definita per linearita' su tutto \( \displaystyle \mathbb{R} \) e \( \displaystyle {s}{\left({t}{\overline{{v}}}\right)}={t}{s}{\left({\overline{{v}}}\right)} \) per ogni \( \displaystyle {t} \) in \( \displaystyle \mathbb{Q} \). Ma
d'altra parte \( \displaystyle {s}{\left({v}_{\lambda}\right)}={0} \) se \( \displaystyle {v}_{\lambda}\ne{\overline{{v}}} \).

Naturalmente per avere l'esistenza di una base ci vuole l'assioma della scelta (sembra che ultimamente dove passa dissonance esca fuori AC ...). Senza AC e' sicuro che ci sara' un modello in cui ogni funzione con le proprieta'
sopra e' continua (e in cui, quindi, ogni sottoinsieme di \( \displaystyle \mathbb{R} \) e' misurabile)