[Gruppi] Indici dei massimali nei risolubili

[Martino]

Sappiamo che se un sottogruppo ha indice primo allora è massimale. Ma cosa possiamo dire dell'indice di un sottogruppo massimale?

Nell'ambito dei gruppi risolubili qualcosa riusciamo a dire.

Teorema. L'indice di un sottogruppo massimale di un gruppo risolubile finito è una potenza di un primo.

Nel seguito propongo una serie di risultati intermedi che servono a dimostrare questo teorema.

Introduco la nozione di "sottogruppo normale minimale". Un sottogruppo normale \( \displaystyle N \) di un gruppo \( \displaystyle G \) si dice "sottogruppo normale minimale" se nessun sottogruppo proprio non banale di \( \displaystyle N \) è normale in \( \displaystyle G \) .

Introduco la nozione di "sottogruppo sub-normale minimale". Un sottogruppo \( \displaystyle H \) di un gruppo \( \displaystyle G \) si dice "subnormale" se esiste una sequenza finita \( \displaystyle H=N_0 \unlhd N_1 \unlhd ... \unlhd N_t = G \) . \( \displaystyle H \) si dice "subnormale minimale" se è subnormale e in aggiunta nessun sottogruppo proprio non banale di \( \displaystyle H \) è subnormale in \( \displaystyle G \) .

Lemma A. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo risolubile, e sia \( \displaystyle K \) un sottogruppo sub-normale minimale di \( \displaystyle G \) . Allora \( \displaystyle K \) è ciclico di ordine primo.
Dim. Osserviamo che \( \displaystyle K \) dev'essere semplice...

Lemma B. Un gruppo finito ammette sempre sottogruppi normali minimali e subnormali minimali.
Dim. Basta andare giù abbastanza.

Lemma C. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo risolubile, e sia \( \displaystyle N \) un suo sottogruppo normale minimale. Allora \( \displaystyle N \cong C_p^n \) per un \( \displaystyle p \) primo e un intero positivo \( \displaystyle n \) . In particolare \( \displaystyle |N| = p^n \) .
Dim. Consideriamo un sottogruppo subnormale minimale \( \displaystyle K \) di \( \displaystyle G \) contenuto in \( \displaystyle N \) . I suoi coniugati sono tutti sottogruppi di \( \displaystyle N \) . Consideriamo il sottogruppo che generano...

Siano ora \( \displaystyle G \) un gruppo risolubile e \( \displaystyle H \) un suo sottogruppo massimale. Detto \( \displaystyle H_G \) il cuore normale di \( \displaystyle H \) in \( \displaystyle G \) (l'intersezione dei coniugati di \( \displaystyle H \) ), siccome basta mostrare il risultato per \( \displaystyle G/H_G \) e \( \displaystyle H/H_G \) , possiamo supporre che \( \displaystyle H_G=\{1\} \) . Sia \( \displaystyle N \cong C_p^n \) un sottogruppo normale minimale di \( \displaystyle G \) . Siccome \( \displaystyle H_G=\{1\} \) si ha \( \displaystyle H \cap N=\{1\} \) e dalla massimalità di \( \displaystyle H \) segue che \( \displaystyle HN=G \) . Quindi \( \displaystyle |G:H| = |HN:H| = |N:H \cap N| = |N| = p^n \) .

[perplesso]

Lemma C. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo risolubile, e sia \( \displaystyle N \) un suo sottogruppo normale minimale. Allora \( \displaystyle N \cong C_p^n \) per un \( \displaystyle p \) primo e un intero positivo \( \displaystyle n \) . In particolare \( \displaystyle |N| = p^n \) .
Dim. Consideriamo un sottogruppo subnormale minimale \( \displaystyle K \) di \( \displaystyle G \) contenuto in \( \displaystyle N \) . I suoi coniugati sono tutti sottogruppi di \( \displaystyle N \) . Consideriamo il sottogruppo che generano...

Per caso generano la chiusura normale $ K^G $ di K in G ? E quindi siccome $ K^G <= N $ e N è minimale deduci che $ N=K^G $ e concludi notando che $ K $ è ciclico di ordine primo per il lemma A e tali sono anche i suoi coniugati dunque $ N=K^G \cong C_p^n $ ?

[Martino]

Lemma C. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo risolubile, e sia \( \displaystyle N \) un suo sottogruppo normale minimale. Allora \( \displaystyle N \cong C_p^n \) per un \( \displaystyle p \) primo e un intero positivo \( \displaystyle n \) . In particolare \( \displaystyle |N| = p^n \) .
Dim. Consideriamo un sottogruppo subnormale minimale \( \displaystyle K \) di \( \displaystyle G \) contenuto in \( \displaystyle N \) . I suoi coniugati sono tutti sottogruppi di \( \displaystyle N \) . Consideriamo il sottogruppo che generano...

Per caso generano la chiusura normale $ K^G $ di K in G ? E quindi siccome $ K^G <= N $ e N è minimale deduci che $ N=K^G $ e concludi notando che $ K $ è ciclico di ordine primo per il lemma A e tali sono anche i suoi coniugati dunque $ N=K^G \cong C_p^n $ ?

E' quel "dunque" il problema Per far funzionare quel "dunque" ti serve mostrare che \( \displaystyle K \unlhd N \) .

[perplesso]

Per la subnormalità \(\displaystyle K \lhd K_1 \lhd K_2 \lhd ... \lhd K^G \lhd G \) ma dalla minimalità di $ K^G $ segue \(\displaystyle K \lhd K^G \) ??

Edit: no no mi sa che non funzione vabbè allora ci penso ancora...

[Martino]

Che sia \( \displaystyle K \unlhd N \) non è un fatto così innocente come sembra (almeno così a me pare).

Lo zoccolo di un gruppo \( \displaystyle G \) è definito come il sottogruppo di \( \displaystyle G \) generato dai suoi sottogruppi normali minimali. Si indica con \( \displaystyle \text{soc}(G) \) .

Osserva che \( \displaystyle \text{soc}(G) \) è caratteristico in \( \displaystyle G \) .

Per ottenere che \( \displaystyle K \) è normale in \( \displaystyle N \) basta dimostrare il seguente lemma:

Lemma D. Siano \( \displaystyle G \) un gruppo finito e \( \displaystyle S \) un sottogruppo sub-normale di \( \displaystyle G \) . Allora \( \displaystyle \text{soc}(G) \) normalizza \( \displaystyle S \) .

Dimostrazione. Per induzione su \( \displaystyle |G| \) . Sia \( \displaystyle N \) un sottogruppo normale minimale di \( \displaystyle G \) . Dobbiamo mostrare che \( \displaystyle N \) normalizza \( \displaystyle S \) . Possiamo supporre \( \displaystyle S \neq G \) . \( \displaystyle S \) essendo subnormale è subnormale in un qualche \( \displaystyle M \lhd G \) . Se \( \displaystyle N \cap M = \{1\} \) allora \( \displaystyle N \) centralizza \( \displaystyle M \) e quindi normalizza \( \displaystyle S \) . Possiamo quindi supporre che \( \displaystyle N \cap M \neq \{1\} \) . Si deve allora avere \( \displaystyle M \supseteq N \) per minimalità di \( \displaystyle N \) , e in particolare \( \displaystyle N \unlhd M \) , quindi \( \displaystyle N \) contiene un sottogruppo normale minimale di \( \displaystyle M \) , da cui \( \displaystyle N \cap \text{soc}(M) \neq \{1\} \) . Siccome \( \displaystyle \text{soc}(M) \) è caratteristico in \( \displaystyle M \) e \( \displaystyle M \) è normale in \( \displaystyle G \) si ha \( \displaystyle \text{soc}(M) \lhd G \) e quindi \( \displaystyle N \subseteq \text{soc}(M) \) . Ma per ipotesi induttiva \( \displaystyle \text{soc}(M) \) normalizza \( \displaystyle S \) , quindi anche \( \displaystyle N \) normalizza \( \displaystyle S \) .

Quindi otteniamo che \( \displaystyle K \unlhd N \) . Per concludere che \( \displaystyle N \cong C_p^n \) bisogna dimostrare la seguente cosa non difficile (applicata a \( \displaystyle N \) ):

Lemma E. Sia \( \displaystyle G \) un gruppo finito. Allora \( \displaystyle \text{soc}(G) \) è isomorfo a un prodotto diretto di sottogruppi normali minimali.

Comunque il lemma D mi pare un po' troppo potente per dimostrare il lemma C. Penserò a un argomento più breve.