Induzione matematica discreta

[Lordofnazgul]

Ciao a tutti,

mi servirebbe un aiuto su come risolvere la seguente dimostrazione per induzione:

\( \displaystyle {6}{\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{{i}}^{{2}}={n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({2}{n}+{1}\right)} \)

Praticamente la mia idea è: dimostro il caso base, e provo la validità per \( \displaystyle {n}={1} \). e fino a qua ci sono.

Poi devo dimostrare il tutto sostitutendo al posto di \( \displaystyle {n} \), \( \displaystyle {n}+{1} \) avendo così:

\( \displaystyle {6}{\sum_{{{i}={1}}}^{{{n}+{1}}}}{{i}}^{{2}}={\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}{\left({2}{n}+{3}\right)} \)


Ma poi arrivato a questo punto mi blocco.. Come posso procedere??

Grazie mille a tutti per l'aiuto!

[Gi8]

Quella che hai scritto è la tesi induttiva.
1) Qual è l'ipotesi induttiva?
2) Sfrutta l'ipotesi induttiva per arrivare a dimostrare la tesi induttiva

[Icarocremisi]

devi ridurre n a n+1.
Se ciò è valido per n è valido per n+1.

Quindi posto che n diventa

(n+1)(2n+2+1)
Poi deduci che se ciò è valido per n+1.
è valido per n+n.

da cui
(n+n)(nn+n+1)..

Ora se è valido per n+1 e n+n.
è valido per qualunque n.
Però è il primo esercizio che risolvo per induzione preferirei che lo controllasse qualcuno più esperto, in generale cerco di evitare questo tipo di dimostrazione.

[katmandu]

Per il caso base:
\( \displaystyle {A}{\left({1}\right)} \)
\[
6(1^2) = 1(2)(3) \]
\[
6=6
\]
verificato
ora supponiamo \( \displaystyle {A}{\left({n}\right)} \) e proviamo vera \( \displaystyle {A}{\left({n}+{1}\right)} \)
il trucco sta nel ridurre, attraverso operazioni consentite, la nostra espressione in un' altra che contenga \( \displaystyle {A}{\left({n}\right)} \) per poi sfruttare la sua assunta veridicità per provare per induzione la nostra tesi

quindi:
\[{6}{\sum_{{{i}={1}}}^{{{n}+{1}}}}{{i}}^{{2}}={\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}{\left({2}{n}+{3}\right)}\]
\[{6}\sum_{i=1}^{n} i^2 + 6(n+1)^2 = (n+1)(n+2)(2n+3)\]
ma sappiamo che \[{6}\sum_{i=1}^{n} i^2 = n(n+1)(2n+1)\]
quindi veirfichiamo che:
\[ n(n+1)(2n+1)+ 6(n+1)^2 = (n+1)(n+2)(2n+3)\]
e infatti, con un paio di calcoli, ottieni
\[6 + 13 n+ 9 n^2 + 2 n^3 = 6 + 13 n + 9 n^2 + 2 n^3 \]
ovvero, la tesi

[Icarocremisi]

Impeccabile.
Mi piace molto l'uguaglianza posta alla fine.