induzione strana

[criss89]

1^3+2^3+3^3....+n^3=(1+2+3+....+n)^2

salve,
io ho provato a fare questa induzione ma è veramente difficile...vorrei sapere almeno un aiutino per risolverla...
grazie

[adaBTTLS]

benvenut* nel forum.

immagino che il problema sia il passo induttivo ... certo che è interessante!

allora, per n=1 è banale. supponiamola vera per un generico n e verifichiamola per n+1.

\( \displaystyle {\left({{1}}^{{3}}+{{2}}^{{3}}+\ldots+{{n}}^{{3}}\right)}+{{\left({n}+{1}\right)}}^{{3}}={{\left({1}+{2}+\ldots+{n}\right)}}^{{2}}+{{\left({n}+{1}\right)}}^{{3}}=?={{\left({1}+{2}+\ldots+{n}+{\left({n}+{1}\right)}\right)}}^{{2}} \)
la prima uguaglianza vale per l'ipotesi induttiva, la seconda è da dimostrare.

suggerirei di verificare che

\( \displaystyle {{\left({1}+\ldots+{\left({n}+{1}\right)}\right)}}^{{2}}-{{\left({1}+\ldots+{n}\right)}}^{{2}}={{\left({n}+{1}\right)}}^{{3}} \)

ricorri alla parte seguente solo se non dovessi riuscire da sol*

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

infatti, se si scompone il primo membro come differenza di quadrati si ha:
\( \displaystyle {\left[{\left({1}+\ldots+{\left({n}+{1}\right)}\right)}+{\left({1}+\ldots+{n}\right)}\right]}\cdot{\left[{\left({1}+\ldots+{\left({n}+{1}\right)}\right)}-{\left({1}+\ldots+{n}\right)}\right]}={\left[{2}\cdot{\left({1}+\ldots+{n}\right)}+{\left({n}+{1}\right)}\right]}\cdot{\left[{n}+{1}\right]}={\left[{2}\cdot\frac{{{n}\cdot{\left({n}+{1}\right)}}}{{2}}+{\left({n}+{1}\right)}\right]}\cdot{\left[{n}+{1}\right]}={\left[{\left({n}+{1}\right)}\cdot{\left({n}+{1}\right)}\right]}\cdot{\left[{n}+{1}\right]}={{\left({n}+{1}\right)}}^{{3}} \)
spero sia chiaro.

ciao.