Induzione

[Gladior]

Caz..........ILLUMINAZIONE
Adesso ho capito il tuo suggerimento cioè è inutile tenere il quadrato posso trattarlo semplicemente \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \) per ogni \( \displaystyle {n}\ge{0} \) Quindi prova la base induttiva cioè
P(0)
quindi:
\( \displaystyle {{2}}^{{0}}\ge{0}+{1} \) cioè \( \displaystyle {1}={1} \) quindi ho P(0) è vera
adesso passo a P(n+1)
cioè:
L'ipotesi induttiva:
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\ge{\left({n}+{1}\right)}+{1} \)
quindi:
\( \displaystyle {2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \)
Moltiplico per due il secondo membro ottengo:
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}={2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{2}\cdot{\left({n}+{1}\right)}={2}{n}+{2} \)\( \displaystyle \ge \)\( \displaystyle {n}+{2} \)
Mi auguro che qualcuno possa dirmi se questo svolgimento possa andare grazie per la vostra disponibilità................

[adaBTTLS]

Caz..........ILLUMINAZIONE
Adesso ho capito il tuo suggerimento cioè è inutile tenere il quadrato posso trattarlo semplicemente \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \) per ogni \( \displaystyle {n}\ge{0} \) Quindi prova la base induttiva cioè
P(0)
quindi:
\( \displaystyle {{2}}^{{0}}\ge{0}+{1} \) cioè \( \displaystyle {1}={1} \) quindi ho P(0) è vera
adesso passo a P(n+1)
cioè:
L'ipotesi induttiva: l'ipotesi induttiva è \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \)
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\ge{\left({n}+{1}\right)}+{1} \) non è questa l'ipotesi induttiva ma è quello che devi dimostrare
quindi:
\( \displaystyle {2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \) questo passaggio non è corretto
Moltiplico per due il secondo membro ottengo:
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}={2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{2}\cdot{\left({n}+{1}\right)}={2}{n}+{2} \)\( \displaystyle \ge \)\( \displaystyle {n}+{2} \) questo è giusto, ma proviamo a riscriverlo meglio con l'ipotesi induttiva
Mi auguro che qualcuno possa dirmi se questo svolgimento possa andare grazie per la vostra disponibilità................

\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}={2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{2}\cdot{\left({n}+{1}\right)}={2}{n}+{2}={\left({\left({n}+{1}\right)}+{1}\right)}+{n}\ge{\left({n}+{1}\right)}+{1} \) (la prima disuguaglianza è valida per l'ipotesi induttiva, l'ultima perché \( \displaystyle {n}\ge{0} \))
spero ora sia chiaro. è molto più semplice di come ti stavo suggerendo.
a questo punto devi concludere che vale anche per i numeri naturali quadrati perfetti, e dunque la tesi.
ciao.

[Gladior]

Quindi è giusto il procedimento che ho utilizzato vero?

[Gladior]

Caz..........ILLUMINAZIONE
Adesso ho capito il tuo suggerimento cioè è inutile tenere il quadrato posso trattarlo semplicemente \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \) per ogni \( \displaystyle {n}\ge{0} \) Quindi prova la base induttiva cioè
P(0)
quindi:
\( \displaystyle {{2}}^{{0}}\ge{0}+{1} \) cioè \( \displaystyle {1}={1} \) quindi ho P(0) è vera
adesso passo a P(n+1)
cioè:
L'ipotesi induttiva: l'ipotesi induttiva è \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \)
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\ge{\left({n}+{1}\right)}+{1} \) non è questa l'ipotesi induttiva ma è quello che devi dimostrare
quindi:
\( \displaystyle {2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \) questo passaggio non è corretto (questo punto devo ometterlo quindi)?
Moltiplico per due il secondo membro ottengo:
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}={2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{2}\cdot{\left({n}+{1}\right)}={2}{n}+{2} \)\( \displaystyle \ge \)\( \displaystyle {n}+{2} \) questo è giusto, ma proviamo a riscriverlo meglio con l'ipotesi induttiva
Mi auguro che qualcuno possa dirmi se questo svolgimento possa andare grazie per la vostra disponibilità................

\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}={2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{2}\cdot{\left({n}+{1}\right)}={2}{n}+{2}={\left({\left({n}+{1}\right)}+{1}\right)}+{n}\ge{\left({n}+{1}\right)}+{1} \) (la prima disuguaglianza è valida per l'ipotesi induttiva, l'ultima perché \( \displaystyle {n}\ge{0} \))
spero ora sia chiaro. è molto più semplice di come ti stavo suggerendo.
a questo punto devi concludere che vale anche per i numeri naturali quadrati perfetti, e dunque la tesi.
ciao.

quel passaggio devo ometterlo? quello dove dici che non è corretto?

[adaBTTLS]

\( \displaystyle {2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \) è Vero, ma non ti permette di concludere quello che ti serve. d'altronde tu devi concludere che \( \displaystyle {2}\cdot{{2}}^{{n}}\ge{n}+{2} \)...
se fosse \( \displaystyle {2}\cdot{{2}}^{{n}}={n}+{1} \), la verità della prima disuguaglianza non implicherebbe la verità della seconda (quella che devi dimostrare).
spero di aver chiarito. ti consiglio però di "unire i vari pezzi" e riordinare la dimostrazione in maniera unitaria, avendo ben presente anche il significato dei vari termini tecnici come "ipotesi induttiva", oltre che il "percorso completo il più semplice e diretto possibile" per affermare la tesi.
ciao.