Induzione

[Gladior]

Dimostare che , per ogni n>=0 , risulta 2^n^2>= n^2+1

In questo esercizio c'è qualcosa che non va a mio avviso c' qualcuno che è in grado di risolverlo e magari commentarlo?

Grazie anticipatamente per la vostra disponibilità...

[Martino]

[mod="Martino"]Per favore usa il mathml per scrivere le formule, e più in generale leggi qui per avere informazioni su come postare.[/mod]

In particolare ti dispiacerebbe approfondire un po' la questione? Cosa è che non ti convince su questo esercizio?

Quale delle seguenti formulazioni è corretta?

\( \displaystyle {{2}}^{{{{n}}^{{2}}}}\ge{{n}}^{{2}}+{1} \)

\( \displaystyle {{\left({{2}}^{{n}}\right)}}^{{2}}\ge{{n}}^{{2}}+{1} \)

[Gladior]

La prima, io ho provato a risolvere, solo che vorrei qualcuno che lo svolgese per poter confrontare la soluzione.

[Martino]

La prima, io ho provato a risolvere, solo che vorrei qualcuno che lo svolgese per poter confrontare la soluzione.

A mio parere è molto più utile se riporti qui la tua soluzione. Il confronto in questo caso è molto più produttivo. Non è solo una mia convinzione, è il regolamento del forum che impone di proporre tentativi di soluzione. Prova a leggere il link che ti ho dato nel post precedente.
(modifico)

Ti ri-chiedo di imparare il mathml ed esporre la tua soluzione, grazie.

[Gladior]

Bisogna provare la base induttivaP(n) cioè \( \displaystyle {n}={0} \) si sostituisce alla seguente \( \displaystyle {{2}}^{{{{n}}^{{2}}}} \) \( \displaystyle \ge \) \( \displaystyle {{n}}^{{2}}+{1} \)
quindi si prova che P(0) la base induttiva è vera Quindi \( \displaystyle {{2}}^{{{{0}}^{{2}}}} \) \( \displaystyle \ge \) \( \displaystyle {{0}}^{{2}}+{1} \) quindi troviamo che
la base induttiva risulta vera cioè P(0) quindi \( \displaystyle {1} \)\( \displaystyle \ge \)\( \displaystyle {1} \).
Adesso bigno prvare che vale pure per la successiva cioè P(n+1) giusto?
Adesso non so come procedere, c'è qualcuno che può aiutarmi.

[Martino]

Osserva che siccome \( \displaystyle {{n}}^{{2}} \) è un numero naturale, per concludere è sufficiente mostrare che \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\ge{n}+{1} \) per ogni \( \displaystyle {n}\ge{0} \) (infatti se vale per ogni numero allora vale anche per ogni quadrato). Questo risulta essere più facile.

[Gladior]

potresti essere più chiaro postandomi tutti i passaggi?
Anche perchè non ho molto tempo Martedì avrei un esame......
Cmq se non puoi grazie lo stesso sei stato molto gentile

[adaBTTLS]

hai provato a sviluppare \( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}} \) e a sostituirlo a \( \displaystyle {{n}}^{{2}} \) ?

[Martino]

potresti essere più chiaro postandomi tutti i passaggi?
Anche perchè non ho molto tempo Martedì avrei un esame......

Mi spiace, non è questo lo spirito del forum.

[Gladior]

hai provato a sviluppare \( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}} \) e a sostituirlo a \( \displaystyle {{n}}^{{2}} \) ?

\( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}} \)=\( \displaystyle {{n}}^{{2}} \)\( \displaystyle +{2}{n}+{1} \)
adesso devo sostituirlo a \( \displaystyle {{n}}^{{2}} \) del secondo membro?
Quindi viene:\( \displaystyle {{2}}^{{{\left({{n}}^{{2}}+{2}{n}+{1}\right)}}} \) \( \displaystyle \ge \) \( \displaystyle {{\left({{n}}^{{2}}+{2}{n}+{1}\right)}}^{{2}}+{1} \)
Giusto fino a qui?