iniettività applicazioni lineari affini:

[starsuper]

Supponiamo che voglia calcolarmi se un'appl. lineare è lineare o affine. Per vedere se è lineare posso sostituire lo 0 alle incognite e se ottengo \( \displaystyle {f{{\left({0},{0}\right)}}}={\left({0},{0},{0}\right)} \) allora è lineare? Ma non dipnde anche dalla funzione stessa? Cioè:

\( \displaystyle {f{{1}}}{\left({x},{y}\right)}={\left({x}-{2}{y},{x}+{y},{x}+{y}\right)} \) -> a me risulta lineare, sostituisco lo 0 e ottengo \( \displaystyle {f{{\left({0},{0}\right)}}}={\left({0},{0},{0}\right)} \). Ma è sempre cosi? Perche ad esempio sapevo che alle volte polinomi di 2 grado non risultano lineari. Perche?

Inoltre: Un appl. lineare è sempre affine, ma un appl affine non è detto sia lineare giusto?

Altro dubbio:

Se sono in presenza di un appl lineare affine tipo:

\( \displaystyle {f{{2}}}{\left({x},{y}\right)}={\left({3}{x}+{y},{2}{x},{3}{x}+{1}\right)} \) risulta affine, ma valgono le stesse regole delle lineari per calcolarmi iniettivita e suriettività?

[Zilpha]

Vedo che c'è un bel pò di confusione! un buon libro di algebra lineare (letto con attenzione) risolverebbe gran parte dei tuoi dubbi. Ad ogni modo provo a scioglierne qualcuno...

Supponiamo che voglia calcolarmi se un'appl. lineare è lineare o affine.

Le applicazioni lineari sono casi particolari di applicazioni affini. Quindi un'applicazione lineare è affine.

Per vedere se è lineare posso sostituire lo 0 alle incognite e se ottengo \( \displaystyle {f{{\left({0},{0}\right)}}}={\left({0},{0},{0}\right)} \) allora è lineare?

Questa è una condizione necessaria affinchè un'applicazione sia lineare, in altri termini sfrutti la proprietà delle applicazioni lineari di "non spostare lo zero". Ma nota bene che da sola non è sufficiente a garantire la linearità. Devi far vedere che sono rispettate anche le due condizioni che definiscono un'applicazione lineare, cioè che viene conservata l'operazione interna e il prodotto per uno scalare.

Perche ad esempio sapevo che alle volte polinomi di 2 grado non risultano lineari. Perche?

Che vuol dire "a volte" ? in ogni caso ti sembra che come funzione mandi rette in rette?

[starsuper]

grazie della tua rispota. Ho il libro di algebra ma è privo di esempi ed esercizi quindi durante lo svolgimenti di quest'ultimi sono solo. Tutto ok per la parte 1.
Per quanto riguarda la seconda citazione, si è vero, affinche sia lineare deve esserci lo 0 + le altre due condizioni. Ma quindi dovrei sempre applicare le due condizioni alla mia funzione? Non c'è un modo per vederle a occhio?

Mi correggo e tolgo a volte. E' sempre cosi, manda da una retta a una retta. Quindi tutte le f che vedo che hanno grado 2 non sono lineari, ne affini...

??

[Zilpha]

Per quanto riguarda la seconda citazione, si è vero, affinche sia lineare deve esserci lo 0 + le altre due condizioni. Ma quindi dovrei sempre applicare le due condizioni alla mia funzione?

Ti consiglio per prima cosa di verificare la condizione sullo zero: se la \( \displaystyle {f} \) manda il vettore nullo del primo spazio in un vettore NON nullo del secondo allora certamente non è lineare. In caso contrario passi a verificare le altre due condizioni... e devi farlo sempre, in quanto la forma della funzione potrebbe trarre in inganno... a volte l'intuito ci manda fuori strada, quindi è opportuno fare un controllo anche quando "ad occhio" ti sembra tutto ok.

E' sempre cosi, manda da una retta a una retta

No. Non manda rette in rette. Scusa \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{2}} \) ti sembra una retta?

Comunque se il testo adottato non è sufficiente conviene che ti procuri altri testi... in questa sezione c'è un post apposito in cui sono consigliati alcuni libri.

[starsuper]

Ho riguardato meglio le cose e ho un po' piu chiaro il tutto.

Ho una domanda :
\( \displaystyle {f{{\left({x},{y}\right)}}}={\left({x}{y},{{x}}^{{2}}-{{y}}^{{2}}\right)} \) studiandone le proprietà risulta suriettiva, perche?

Io ho ragionato cosi:
Lineare, no
Affine, no
Iniettiva, no, se mando in input (-1,-1) o (1,1) ottengo gli stessi output
Suriettiva, no, non "copre" tutti gli elementi del codominio

Le soluzioni del prof dicono che sia suriettiva, perche ?

[Zilpha]

Puoi precisare dominio e codominio della funzione?

[starsuper]

Scusami, parliamo di \( \displaystyle {{R}}^{{2}}\to{{R}}^{{2}} \)