iniettività linearità

[gago]

esercizio:

sia w un versore e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) con \( \displaystyle {T}{\left({x}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \).
Rispondere alle domande:
1)T è lineare? (secondo me si applicando la definizione di linearità)
2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)
3)esiste qualche x tale che \( \displaystyle {T}{\left({T}{\left({x}\right)}\right)}\ne{T}{\left({x}\right)} \)?

chi mi aiuta con la 3)? le prime due sono corrette?

[franced]

sia w un versore e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) con \( \displaystyle {T}{\left({x}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \).

2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)

No, prendi ad esempio due vettori \( \displaystyle {x}_{{1}} \), \( \displaystyle {x}_{{2}} \) ortogonali a \( \displaystyle {w} \) e vedi cosa accade..

[gago]

sia w un versore e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) con \( \displaystyle {T}{\left({x}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \).

2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)

No, prendi ad esempio due vettori \( \displaystyle {x}_{{1}} \), \( \displaystyle {x}_{{2}} \) ortogonali a \( \displaystyle {w} \) e vedi cosa accade..

ah è vero hanno entrambi immagine zero quindi non è iniettiva.
Riguardo la 3) domanda però non avrei idee su come svolgere perchè non capisco cosa sia t(t(x))

[franced]

sia w un versore e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) con \( \displaystyle {T}{\left({x}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \).

2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)

No, prendi ad esempio due vettori \( \displaystyle {x}_{{1}} \), \( \displaystyle {x}_{{2}} \) ortogonali a \( \displaystyle {w} \) e vedi cosa accade..

ah è vero hanno entrambi immagine zero quindi non è iniettiva.
Riguardo la 3) domanda però non avrei idee su come svolgere perchè non capisco cosa sia t(t(x))

Si tratta della trasformazione che si ottiene applicando \( \displaystyle {T} \) due volte.

[gago]

sia w un versore e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) con \( \displaystyle {T}{\left({x}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \).

2)T è iniettiva? (non sono riuscito a trovare due vettori che abbiamo immagine uguale quindi si è iniettiva)

No, prendi ad esempio due vettori \( \displaystyle {x}_{{1}} \), \( \displaystyle {x}_{{2}} \) ortogonali a \( \displaystyle {w} \) e vedi cosa accade..

ah è vero hanno entrambi immagine zero quindi non è iniettiva.
Riguardo la 3) domanda però non avrei idee su come svolgere perchè non capisco cosa sia t(t(x))

Si tratta della trasformazione che si ottiene applicando \( \displaystyle {T} \) due volte.

E quindi dovrei calcolare \( \displaystyle {T}{\left({\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\right)} \)? ma non ho trovato nulla

[franced]

Dunque:

\( \displaystyle {T}{\left({x}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \) con \( \displaystyle {\left|{\left|{w}\right|}\right|}={1} \) ;

\( \displaystyle {T}{\left({T}{\left({x}\right)}\right)}={T}{\left({\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\right)}={\left({\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\cdot{w}\right)}{w} \)

dal momento che risulta \( \displaystyle {\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\cdot{w}={\left({x}\cdot{w}\right)} \) (\( \displaystyle {w} \) è un versore), abbiamo:

\( \displaystyle {T}{\left({T}{\left({x}\right)}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \) .

[gago]

Dunque:

\( \displaystyle {T}{\left({x}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \) con \( \displaystyle {\left|{\left|{w}\right|}\right|}={1} \) ;

\( \displaystyle {T}{\left({T}{\left({x}\right)}\right)}={T}{\left({\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\right)}={\left({\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\cdot{w}\right)}{w} \)

dal momento che risulta \( \displaystyle {\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\cdot{w}={\left({x}\cdot{w}\right)} \) (\( \displaystyle {w} \) è un versore), abbiamo:

\( \displaystyle {T}{\left({T}{\left({x}\right)}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \) .

ah ecco devo sostituire alla x T(x). ok capito grazie mille!

[franced]

Dunque:

\( \displaystyle {T}{\left({x}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \) con \( \displaystyle {\left|{\left|{w}\right|}\right|}={1} \) ;

\( \displaystyle {T}{\left({T}{\left({x}\right)}\right)}={T}{\left({\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\right)}={\left({\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\cdot{w}\right)}{w} \)

dal momento che risulta \( \displaystyle {\left({x}\cdot{w}\right)}{w}\cdot{w}={\left({x}\cdot{w}\right)} \) (\( \displaystyle {w} \) è un versore), abbiamo:

\( \displaystyle {T}{\left({T}{\left({x}\right)}\right)}={\left({x}\cdot{w}\right)}{w} \) .

ah ecco devo sostituire alla x T(x). ok capito grazie mille!

Prego.