Iniettività suriettività nucleo

[gago]

Sia \( \displaystyle {\left({i},{j},{k}\right)} \) una base ortonormale e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) l'applicazione lineare tale che \( \displaystyle {T}{\left({i}\right)}={j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({j}\right)}=-{j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({k}\right)}={i} \). Determinare il nucleo di T, se T è suriettiva e/o iniettiva.

La base secondo me è canonica.
E' iniettiva se dimkerT=0. ma come lo trovo il nucleo? E la suriettività?

[franced]

Sia \( \displaystyle {\left({i},{j},{k}\right)} \) una base ortonormale e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) l'applicazione lineare tale che \( \displaystyle {T}{\left({i}\right)}={j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({j}\right)}=-{j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({k}\right)}={i} \). Determinare il nucleo di T, se T è suriettiva e/o iniettiva.

Rispetto alla base \( \displaystyle {i},{j},{k} \) in partenza e in arrivo la matrice associata è

\( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}}\right)} \) .

[gago]

Sia \( \displaystyle {\left({i},{j},{k}\right)} \) una base ortonormale e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) l'applicazione lineare tale che \( \displaystyle {T}{\left({i}\right)}={j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({j}\right)}=-{j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({k}\right)}={i} \). Determinare il nucleo di T, se T è suriettiva e/o iniettiva.

Rispetto alla base \( \displaystyle {i},{j},{k} \) in partenza e in arrivo la matrice associata è

\( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}}\right)} \) .

Quindi il nucleo di T lo calcolo così: \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}}\right)} \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right)} \) = \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right)} \)
Però ottengo \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{z}={0}\\{x}-{y}={0}\\{0}={0}}\right.} \) quindi il nucleo qual è?

[franced]

Sia \( \displaystyle {\left({i},{j},{k}\right)} \) una base ortonormale e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) l'applicazione lineare tale che \( \displaystyle {T}{\left({i}\right)}={j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({j}\right)}=-{j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({k}\right)}={i} \). Determinare il nucleo di T, se T è suriettiva e/o iniettiva.

Rispetto alla base \( \displaystyle {i},{j},{k} \) in partenza e in arrivo la matrice associata è

\( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}}\right)} \) .

Quindi il nucleo di T lo calcolo così: \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}}\right)} \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right)} \) = \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right)} \)
Però ottengo \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{z}={0}\\{x}-{y}={0}\\{0}={0}}\right.} \) quindi il nucleo qual è?

Il nucleo è generato dal vettore \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\{1}\\{0}}\right)} \) ;
d'altra parte le equazioni che hai appena scritto lo "dicono":
la terza coordinata deve essere nulla e le prime due devono essere uguali..

[gago]

Sia \( \displaystyle {\left({i},{j},{k}\right)} \) una base ortonormale e sia \( \displaystyle {T}:{V}\rightarrow{V} \) l'applicazione lineare tale che \( \displaystyle {T}{\left({i}\right)}={j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({j}\right)}=-{j} \) , \( \displaystyle {T}{\left({k}\right)}={i} \). Determinare il nucleo di T, se T è suriettiva e/o iniettiva.

Rispetto alla base \( \displaystyle {i},{j},{k} \) in partenza e in arrivo la matrice associata è

\( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}}\right)} \) .

Quindi il nucleo di T lo calcolo così: \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&-{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}}\right)} \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right)} \) = \( \displaystyle {\left(\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right)} \)
Però ottengo \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{z}={0}\\{x}-{y}={0}\\{0}={0}}\right.} \) quindi il nucleo qual è?

Il nucleo è generato dal vettore \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\{1}\\{0}}\right)} \) ;
d'altra parte le equazioni che hai appena scritto lo "dicono":
la terza coordinata deve essere nulla e le prime due devono essere uguali..

quindi la dim del ker di T è 1 e non è iniettiva?giusto?e per la suriettività?

[franced]

quindi la dim del ker di T è 1 e non è iniettiva?giusto?e per la suriettività?

Poiché si tratta di un endomorfismo, se non è iniettiva non è neppure suriettiva.

[gago]

quindi la dim del ker di T è 1 e non è iniettiva?giusto?e per la suriettività?

Poiché si tratta di un endomorfismo, se non è iniettiva non è neppure suriettiva.

ok grazie!

[franced]

quindi la dim del ker di T è 1 e non è iniettiva?giusto?e per la suriettività?

Poiché si tratta di un endomorfismo, se non è iniettiva non è neppure suriettiva.

ok grazie!

Prego!