insieme dei complessi

[Giulio.90]

Scusate, vorrei chiedere solamente una conferma. Non mi sento sicuro sul seguente esercizio:

" Si provi che \( \displaystyle {\left\lbrace{z}\in\mathbb{C}:{\left({1}+{2}{i}\right)}{{\overline{{z}}}}^{{{19}}}={{z}}^{{{19}}}\right\rbrace}={\left({0}\right)} \)

Io ho imposto \( \displaystyle {{z}}^{{{19}}}={\left({a}+{b}{i}\right)} \) è ho risolto l'eqiazione \( \displaystyle {\left({1}+{2}{i}\right)}{\left({a}-{b}{i}\right)}={\left({a}+{b}{i}\right)} \)

Semplificando arrivo a \( \displaystyle {a}+{2}{b}+{\left({2}{a}-{b}\right)}{i}={a}+{b}{i} \) e impostando il sistema \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{a}+{2}{b}={a}\\{2}{a}-{b}={b}}\right.} \) si arriva a trovare a=0 e b=0 così che \( \displaystyle {{z}}^{{19}}={0}+{0}{b} \) e z=0

Scusate se la domanda può essere sciocca.....ma in questo modo può andare bene?

Grazie mille

[Martino]

Certo.

[Giulio.90]

Grazie mille!!!!

[adaBTTLS]

mi è venuto un dubbio, e vorrei approfittare di questo topic per chiedere anch'io un chiarimento.

il simbolo \( \displaystyle {{\overline{{z}}}}^{{19}} \) significa, credo, la potenza \( \displaystyle {19}-\text{esima} \) del coniugato di \( \displaystyle {z} \).

se, nell'esempio, significasse invece il coniugato della potenza \( \displaystyle {19}-\text{esima} \) di \( \displaystyle {z} \), allora il procedimento sarebbe banalmente esatto.
io però indicherei ciò con il simbolo \( \displaystyle {\overline{{{{z}}^{{19}}}}} \).

allora, mi sbaglio io, oppure non è la stessa cosa?
ricordo male o il procedimento è valido con entrambi i significati?

[Martino]

Hai ragione, nel procedimento di Giulio.90 bisognerebbe specificare che il coniugato di un prodotto e' il prodotto dei coniugati.

[adaBTTLS]

ok, grazie, questo chiarisce tutto.

[Giulio.90]

Infatti, non avendo ancora molta dimestichezza con i calcoli con i complessi.....avevo anche questo dubbio... se il prodotto dei coniugati è uguale al coniugato del prodotto....si risolve facilmente..... Grazie 1000 ancora