Insieme di numeri

[FreddyKruger]

Dato un numero intero positivo M la cui scrittura decimale è \( \displaystyle {a}_{{n}}{a}_{{{n}-{1}}}\ldots{a}_{{0}} \)(cioè M è uguale a \( \displaystyle {{10}}^{{n}}{a}_{{n}}+{{10}}^{{{n}-{1}}}{a}_{{{n}-{1}}}+\ldots+{10}{a}_{{1}}+{a}_{{0}} \) con \( \displaystyle {0}\lt{a}_{{0}},\ldots,{a}_{{9}}\leq{9} \) sia \( \displaystyle {f{{\left({M}\right)}}}={a}_{{n}}+{2}{a}_{{{n}-{1}}}+{{2}}^{{2}}{a}_{{{n}-{2}}}\ldots+{{2}}^{{n}}{a}_{{0}} \)
1) Si determini l'insieme X di tutti gli interi positivi per cui \( \displaystyle {f{{\left({M}\right)}}}={M} \).
2) Si dimostri che, per ogni intero positivo \( \displaystyle {M} \), la successione \( \displaystyle {M};{f{{\left({M}\right)}}};{f{{\left({f{{\left({M}\right)}}}\right)}}};{f{{\left({f{{\left({f{{\left({M}\right)}}}\right)}}}\right)}}}; \) contiene un elemento di X.

[xXStephXx]

Che coincidenza pazzesca! L'avevo risolto proprio ieri sera
A questo punto non metto la soluzione.. ma giusto un hint su come partire..

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

posso solo dire di cominciare osservando che le potenze di 10 sono di solito più "potenti" rispetto alle potenze di 2 e ciò dovrebbe far pensare che le soluzioni non siano moltissime.