Insieme quoziente modulo (relazioni di equivalenza)

[ashmikuz]

Per prima cosa saluto e ringrazio (sono al primo post) gli utenti di questo utilissimo sito (già usato per l'esame di maturità).
Mi sto preparando per un esame di matematica discreta e sono incappato in una tipologia di esercizio che non riesco a capire come risolvere.
Mi viene richiesto di calcolare la cardinalità dell'insieme quoziente:
\( \displaystyle \frac{{\mathbb{Z}}^{{2}}}{{\mathcal{{{R}}}}} \)
Dove \( \displaystyle {\mathcal{{{R}}}} \) è definito come segue:
\( \displaystyle \lt{\left({x},{y}\right)}{\mathcal{{{R}}}}{\left({x}',{y}'\right)}\gt\Leftrightarrow\lt{\left({3}{x}+{5}{y}={3}{x}'+{5}{y}'\gt\right.} \)

Io non ho proprio idea di come procedere per questa relazione in particolare. Per esempio, se la stessa domanda riguardasse un insieme quoziente:
\( \displaystyle \frac{\mathbb{N}}{{\mathcal{{{R}}}}} \)
e una relazione di equivalenza cosi formata (con mod 7 intendo una equivalenza modulo 7):
\( \displaystyle {x}{\mathcal{{{R}}}}{y}\Leftrightarrow{x}\equiv{\left(\text{mod}{7}\right)}{y} \)
In quest'ultimo caso alla richiesta della cardinalità dell'insieme quoziente notiamo che ci sono 7 classi di equivalenza: [0],[1],...[6], quindi la cardinalità dell'insieme è proprio 7.
Sono io che non ho capito in generale la definizione di insieme quoziente o in quest ultimo caso ho agito correttamente?
Grazie per l'aiuto....

[blackbishop13]

sì hai capito cos'è un insieme quoziente credo

io per risolvere l'esercizio in questione cercherei di partire da qualche esempio:
cerca la classe di \( \displaystyle {\left({0},{0}\right)} \), o di \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)} \), così da capire il meccanismo.

poi il consiglio è: per stabilire se due elementi di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{/{2}}} \) stanno nella stessa classe di equivalenza, devi vedere quando:
\( \displaystyle {\left({x},{y}\right)}{R}{\left({x}',{y}'\right)} \) se, dette \( \displaystyle {h}={x}'-{x} \) e \( \displaystyle {k}={y}'-{y} \)
si ha \( \displaystyle {3}{x}+{5}{y}={3}{\left({x}+{h}\right)}+{5}{\left({y}+{k}\right)} \)

cerca di continuare.

[ashmikuz]

La classe di (0,0) è quella per cui \( \displaystyle {3}{x}+{5}{y}={0} \)
Invece la classe di (0,1) è quella per cui \( \displaystyle {3}{x}+{5}{y}={5} \)
Quindi la classe di (0,0) è quella per cui
\( \displaystyle {x}={5}{t} \)
\( \displaystyle {y}=-{3}{t} \)
\( \displaystyle \forall{t}{x}\in\mathbb{N} \)
Giusto?
Non capisco però quale possa essere il passo successivo per determinare la cardinalità.

[ashmikuz]

Ok credo di aver capito. In questo caso per calcolare la cardinalita dell'insieme quoziente ragionerei come segue.
\( \displaystyle {3}{x}+{5}{y}={t} \) e per ogni classe di equivalenza abbiamo un t differente che puo assumere tutti i valori in Z. Quindi la cardinalità dell'insieme quoziente è Z, e la cardinalità delle varie classi è Z anch'essa.....