Insieme ricorsivo e produttivo, dove sbaglio?

[beck_s]

L'esame di Fondamenti dell'informatica si avvicina e i dubbi si moltiplicano, vi espongo il mio dilemma:
Sappiamo che l'insieme dei numeri dispari è ricorsivo, così come quello dei numeri pari, e che uno è il coniugato dell'altro, bene, allora definiamo \( \displaystyle {P} \) l'insieme dei numeri pari \( \displaystyle {P}={\left\lbrace{n}{\mid}{n}\in{2}{N}\right\rbrace} \) e definiamo la funzione
\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}= \) \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{2}{x}&{s}{e}{x}\in{K}\\\uparrow&{a}{l}.{t}{r}{i}{m}{e}{n}{t}{i}}\right.} \)
quindi se \( \displaystyle {x}\in{K}\Rightarrow{f{{\left({x}\right)}}}={2}{x}\Rightarrow{f{{\left({x}\right)}}}\in{P} \)
e se \( \displaystyle {x}\notin{K}\Rightarrow{f{{\left({x}\right)}}}\uparrow\Rightarrow{f{{\left({x}\right)}}}\notin{P} \)
Perciò \( \displaystyle {K}\le{P}\Rightarrow{\overline{{{K}}}}\le{\overline{{{P}}}} \) (dove \( \displaystyle \le \) indica la riduzione funzionale indotta da \( \displaystyle {f} \)) questo implica che \( \displaystyle {\overline{{{P}}}} \) che coincide con l'insieme dei numeri dispari è produttivo e quindi non ricorsivamente enumerabile ma noi sappiamo che questo è ASSURDO infatti per ogni numero possiamo dire se esso appartiene o meno all'insieme dei numeri dispari.

Quindi la domanda è: Dove sbaglio?