Insiemi di funzioni di due variabili

[andreabs85]

Ciao a tutti!
Sono in preparazione del test di Analisi 2 e ho difficoltà con degli esercizi presi direttamente dai temi esame degli anni precedenti pubblicati dal nostro docente. Passo direttamente all'esposizione:

Sia \(\displaystyle Q =\{(x, y)\in\mathbb{R}^2: y\geqslant0 , x^2+y^2 \leqslant 2 , |x|\leqslant y^2\} \)
Allora

\( \int\int_Q((6y+3x+\cos(6y)\arctan(8x^5)+6y\sinh(3x))dxdy \) =
A 3arccos(6) B 7
C sen(6)+3cosh(6) D Nessuna delle altre affermazioni `e esatta


Ovviamente l'integrale si semplifica molto in quanto l'insieme è simmetrico rispetto ad y; pertanto tutte le funzioni presenti che sono dispari in x possono essere rimosse in quanto si annullano su un insieme di questo tipo.
Tuttavia ho problemi con la definizione dell'insieme. Lo riesco a disegnare ma non mi tornano gli estremi di integrazione corretti, e forse c'è da fare qualche sostituzione. Ho provato con le coordinate polari, ma si avrebbe che per definire \(\displaystyle \theta \) bisognerebbe risolvere \(\displaystyle |\rho\cos\theta|\leqslant\rho^2\sin^2\theta \).
Spero che riusciate ad aiutarmi perchè sono nel panico su esercizi di questo tipo.
Grazie.

[ciampax]

A me, sinceramente, quell'insieme non pare proprio simmetrico rispetto a nessun asse. La condizione \( \displaystyle {\left|{x}\right|}\le{{y}}^{{2}} \) equivale a scrivere

\( \displaystyle \left\{\begin{array}{lcl}
x\le y^2 & & x\ge 0\\ & & \\ -x\le y^2 & & x<0
\end{array}\right. \)

e il grafico che ne viene fuori è una curva simmetrica rispetto all'origine, per cui la richiesta che sia \( \displaystyle {y}\ge{0} \) fa saltare qualsiasi tipo di simmetria. D'altra parte, per calcolare questo integrale, eviterei anche di fare un cambiamento di coordinate che va solo a complicarti la vita. Una domanda: hai disegnato \( \displaystyle {Q} \)?

[andreabs85]

Ciao, si ho disegnato l'insieme \(\displaystyle Q \), e infatti non capisco perchè dici che non sia simmetrico: la prima condizione \(\displaystyle y\leqslant 0 \) isola il semipiano delle \(\displaystyle y \) positive, e fin qui resta tutto simmetrizzabile rispetto all'asse \(\displaystyle y \); la seconda condizione ci da un cerchio delimitato dalla circonferenza \(\displaystyle x^2+y^2=2 \). Il cerchio è simmetrico rispetto ad entrambi gli assi, quindi anche escludendo la parte delle \(\displaystyle y \) negative (ovvero facendo l'intersezione degli insiemi derivanti dalle prime due condizioni) rimane simmetrico rispetto all'asse \(\displaystyle y \). La terza condizione in effetti va suddivisa come hai fatto tu (scusa ma non sono capace di fare la graffa grossa come la tua), ma comunque resta \(\displaystyle -y^2 \leqslant x \leqslant y^2 \), che sono due parabole perfettamente simmetriche rispetto all'asse y. Pertanto se prendi 3 insiemi simmetrici rispetto allo stesso asse e ne fai l'intersezione ne risulta un nuovo insieme ancora simmetrico rispetto a quell'asse.

[ciampax]

Ah scusa, è che leggevo \( \displaystyle {\left|{y}\right|}\le{{x}}^{{2}} \) invece che \( \displaystyle {\left|{x}\right|}\le{{y}}^{{2}} \).
Ritornando invece ai problemi di integrazione: secondo me conviene non passare a coordinate polari: considerando che la porzione del dominio del primo quadrante può essere rappresentata come \( \displaystyle {D}_{{1}}\cup{D}_{{2}} \) dove, se indichiamo con \( \displaystyle {A}{\left({1},{1}\right)} \) l'intersezione tra la circonferenza e la parabola nel primo quadrante,

\( \displaystyle {D}_{{1}}={\left\lbrace{0}\le{x}\le{1},\ {0}\le{y}\le\sqrt{{{x}}}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {D}_{{2}}={\left\lbrace{1}\le{x}\le\sqrt{{{2}}},\ {0}\le{y}\le\sqrt{{{2}-{{x}}^{{2}}}}\right\rbrace} \)

ti conviene lavorare sui due integrali in questo modo.

[andreabs85]

Si esatto. L'intersezione fra le due parabole e la circonferenza considerate nella parte positiva delle \(\displaystyle y \) sono i due punti \(\displaystyle ( \pm 1; 1) \), quindi mi basta considerare una sola parte e poi moltiplicare per due.
Io direi che ho \(\displaystyle D_1 = \{ 0 \leqslant x \leqslant 1; \sqrt {x} \leqslant y \leqslant \sqrt{2-x} \} \)
Da cui poi ricavo la metà di destra, e per il risultato finale mi basta moltiplicare per due (in quanto \(\displaystyle D_2 \) vale quanto \(\displaystyle D_1 \) ).
Grazie.

[ciampax]

No, attento, tu parli dei due domini che io ho scritto come due cose separate: io invece intendo con \( \displaystyle {D}_{{1}}\cup{D}_{{2}} \) la sola porzione nel primo quadrante dove devi integrare. E la cosa che hai scritto tu non mi sembra funzioni, riguarda il grafico con attenzione.