Qualsiasi insieme può assumere la struttura di spazio topologico in almeno due modi:
1) topologia discreta
2) topologia indiscreta

Dato un insieme, è sempre possibile definire su di esso una topologia che non sia quella discreta né quella indiscreta?
Se ciò in generale non è possibile, sotto quali condizioni lo è?

ciao Kroldar!
vedo che la topologia è un po' come il fumo: facile diventare "addicted"...

prima di dare la risposta al tuo quesito specifico butto giù qualche idea su cosa si possa fare in generale per procurarsi una topologia su un insieme dato, qualsiasi

se l'insieme $X$ è finito, si tratta di una questione combinatoria
quanti sono i sottoinsiemi di $\mathcal P (X)$ che soddisfano i requisiti di essere una topologia?
quindi basta prendere i possibili $2^{2^n}$ ($n$ è la cardinalità di $X$) elementi di $\mathcal P (\mathcal P (X))$ e guardare uno per uno...


vediamo qualche esempio in generale, per ogni insieme $X$:
- dato $A \subseteq X$, ${\emptyset, A, X}$ soddisfa le condizioni di essere una topologia (che coincide con la banale o con la discreta nel caso particolare in cui...)
- in generale, prendo una partizione di $X$ e la uso come base per la topologia (le condizioni per essere una base sono soddisfatte)
- prendo una famiglia qualunque di sottoinsiemi e la "battezzo" sottobase per una topologia


comunque, il mio primo esempio mostra che per ogni insieme con almeno due elementi si può sempre definire (su di esso) una topologia né banale né discreta


mi scuso con tutti per l'italiano, ma alle otto del mattino di sabato i miei neuroni riescono a fare solo una cosa per volta


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Sono d'accordo sul discorso dell"addicted" ... Però, Fioravante, permettimi una piccola parentesi personale (a mo' di piccolo sfogo. In fondo, dietro un nick name c'è sempre una persona in carne ed ossa ...).

La topologia, per me, è la "vera" essenza della matematica. Questo l'ho capito da poco.

Però la topologia è difficile specialmente se la si studia da vecchi. Bisognerebbe esservisi formati, abituati, fin da giovani. E' un po' come suonare uno strumento ...

Io, negli anni 70, quando facevo fisica, la studiai superficialmente, quanto basta per capire $C^n$ ed $L^2$.

Poi, a 50 anni mi sono rimesso a studiarla con più dedizione e serietà, ma devo riconoscere che per me è molto difficile e faticosa ...

Sono quindi rammaricato di non averla studiate in gioventù così come sono rammaricato di non avere imparato il violoncello ...

Scusate la nota personale ...

arriama ha scritto:

In fondo, dietro un nick name c'è sempre una persona in carne ed ossa ...).

vero, anche dietro il mio nick

arriama ha scritto:

La topologia, per me, è la "vera" essenza della matematica.

sono sostanzialmente d'accordo con te

però, dai, sul fatto di imparare le cose prima o dopo, non c'è scampo
ci saranno sempre un sacco di cose che uno avrebbe voluto imparare (il mio elenco non solo è lungo, ma aumenta sempre!!!)
se poi dal verbo "imparare" passiamo al verbo "fare", il discorso diventa drammatico


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Il mio rammarico deriva anche dal fatto che i recenti sviluppi in teorie delle stringhe usano la topologia a tappeto in quanto tentano di definire lo spazio-tempo in modo da soddisfare relatività e meccanica quantistica ...

Continua l'ot ...

Sì, Fioravante, però almeno la teoria degli insiemi, logica e topologia dovrebbero essere noti con grande profondità e questo non viene di solito fatto (almeno, ai miei tempi era così).

D'altra parte, un giovane non lo sa che queste cose sono estremamente basilari, per cui il loro studio dovrebbe essere "imposto" (non è il termine esatto, ma rende l'idea ...).

Pensa che io incontrai gli insiemi per la prima volta al primo anno di Fisica !!!! E ricordo che rimasi esterrefatto del perchè non mi avevano già detto in 4' superiore che una funzione è un sottinsieme del prodotto cartesiano per cui ... quanto tempo ed energie sprecate ...

Ma così era (è ?) la scuola italiana ... assai carente nella formazione dei giovani ... che dovrebbe essere invece la base di tutto ...