Insiemi equipotenti

Messaggioda Angelo » 08/07/2002, 12:55

Se A è un insieme infinito, è vero che AxA è equipotente ad A ?
In caso affermativo, riportare una dimostrazione.
Altrimenti dare un controesempio.


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Messaggioda j18eos » 16/06/2010, 21:24

Il teorema affermato è vero ma la dimostrazione non è fattibile in 4 righe almeno che non si voglia utilizzare l'aritmetica dei numeri cardinali (che io non conosco).
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Messaggioda Martino » 17/06/2010, 11:09

Neanch'io so molto di aritmetica dei cardinali. A quanto leggo qui per questo risultato c'è bisogno dell'assioma della scelta.
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Messaggioda j18eos » 17/06/2010, 20:31

Confermo quanto dice Martino, negando l'assioma della scelta è costruibile un insieme infinito non equipotente al suo insieme quadrato cartesiano; affermando l'assioma della scelta ogni insieme infinito è equipotente al suo insieme quadrato cartesiano.
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Messaggioda Angelo » 18/06/2010, 12:10

Mi puoi dare la dimostrazione che $AxxA$ è equipotente ad $A$ nel caso che $A$ sia un insieme infinito? La dimostrazione certamente utilizzerà l'assioma della scelta.

E poi vorrei che tu mi costruisca un insieme infinito, non equipotente al suo quadrato cartesiano negando l'assioma della scelta.

Chiedo troppo?
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Messaggioda Martino » 18/06/2010, 12:18

j18eos ha scritto:negando l'assioma della scelta è costruibile un insieme infinito non equipotente al suo insieme quadrato cartesiano
Non credo che questo sia vero. O meglio, non credo che questo sia dimostrabile. Probabilmente senza l'assioma della scelta l'esistenza di un insieme infinito non equipotente al suo quadrato è indecidibile.
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Messaggioda Angelo » 18/06/2010, 12:47

Però mi puoi dare la dimostrazione usando l'assioma della scelta? O comunque una pagina web dove ci sia?
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Messaggioda j18eos » 18/06/2010, 17:50

Ti posso suggerire dei libri su cui puoi leggerla, riportartela non posso!
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Messaggioda Angelo » 18/06/2010, 18:17

ok, grazie.
Però se trovi qualcosa su internet, avvisami.
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Messaggioda j18eos » 18/06/2010, 18:36

De Giovanni Franciosi "Elementi di Algebra" Ed. Aracne; nel I capitolo c'è la dimostrazione.

Sulla questione se il negare l'AC si possa costruire un insieme infinito meno potente del suo quadrato cartesiano non né accenna nulla.
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