Integral superficiale con superficie proiettata sul piano xy

Messaggioda guybrush1989 » 11/08/2010, 11:32

Salve a tutti, ho un esercizio del genere:
calcolare l'integrale superficiale $int_{S} ((1/x^2)d sigma)$ dove S è la porzione di superficie di equazione $z=xy$, che si proietta nel piano xy nel dominio $D={1<=x^2+y^2<=2, x>=|y|}

Allora, la formula per calcolare l'integrale superficiale che devo adoperare è la seguente:
$int int_{D} (f(psi(phi,theta))sqrt(A(phi,theta)^2+B(phi,theta)^2+C(phi,theta)^2)d phi d theta)$

dove $f(psi(phi,omega))$ è la funzione iniziale in cui vengono sostituite le coordinate $x=acos(theta)sin(phi), y=asin(theta)sin(phi), z=acos(phi)$ e A,B,C(phi,theta) sono i minori di ordine 2 dello jacobiano relativo alla superficie.

Ora, ho considerato la superficie come cartesiana, pertanto ho imposto che i 3 minori fossero i seguenti:
$A=2x^3, B=0, C=1
e, quadrando e sommando, avrò $4/x^6+1$ che, una volte messo sotto radice quadrata, potrò inserire nella seconda parte della formula suddetta.
Dopodichè, non conoscendo l'andamento della $z=xy$, ho disegnato, nel piano xy, il dominio D suddetto, ottenendo un settore di corona circolare, in cui $-pi/4<=theta<=pi/4, 0<=phi<=pi$.

Una volta fatto ciò (sempre che quanto detto sia esatto, naturalmente), dovrò trovare la $(f(psi(phi,theta))$, che, se ho capito bene, deve essere ricavata sostituendo $x=acos(theta)sin(phi), y=asin(theta)sin(phi), z=acos(phi)$.

Ho cercato di proporre tale soluzione, sebbene non sia molto sicuro che sia esente da errori vari.
Grazie per l'aiuto, :)
Ultima modifica di guybrush1989 il 11/08/2010, 15:58, modificato 2 volte in totale.
guybrush1989
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 90 di 147
Iscritto il: 11/06/2010, 19:47

Messaggioda enr87 » 11/08/2010, 14:12

non riesco a seguire molto. $phi$ si scrive phi, mentre per scrivere $d theta$ devi spaziare: d theta.
non capisco il resto, magari posta tutto il procedimento come faresti e poi ci do un occhio.
enr87
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 371 di 1103
Iscritto il: 11/08/2009, 21:09

Messaggioda guybrush1989 » 11/08/2010, 15:55

sì, ok, cerco di spiegarti in sintesi come ho fatto:
1)ho notato che $z=xy$ è una superficie cartesiana, pertanto è noto, a priori, che i 3 minori di ordine 2 del relativo jacobiano sono:

data $f=1/x^2
$A=-f_x=2/x^3
$B=-f_y=0
$C=1

e li ho quadrati e sommati, così da ottenere $4/x^6+1$.
Guardando la formula: $int int_{D} (f(psi(phi,theta))sqrt(A(phi,theta)^2+B(phi,theta)^2+C(phi,theta)^2)d phi d theta)$
mi serve calcolare $(f(psi(phi,theta))$;se la superficie fosse una sfera di raggio 1,il cambiamento sarebbe:
$x=cos(theta)sin(phi)
$y=sin(theta)sin(phi)
$z=cos(phi)
solo che a me è un settore di corona circolare.
quindi a questo punto non so come proseguire, per poi sostituire il tutto nella formula suddetta per calcolare l'integrale doppio
Ultima modifica di guybrush1989 il 11/08/2010, 16:03, modificato 2 volte in totale.
guybrush1989
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 93 di 147
Iscritto il: 11/06/2010, 19:47

Messaggioda enr87 » 11/08/2010, 15:57

te lo controllo stasera se non ci pensa qualcun altro (ora sto per uscire). intanto ti ho risposto sull'altro topic.
enr87
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 374 di 1103
Iscritto il: 11/08/2009, 21:09

Re: Integral superficiale con superficie proiettata sul pian

Messaggioda enr87 » 11/08/2010, 21:47

guybrush1989 ha scritto:Salve a tutti, ho un esercizio del genere:
calcolare l'integrale superficiale $int_{S} ((1/x^2)d sigma)$ dove S è la porzione di superficie di equazione $z=xy$, che si proietta nel piano xy nel dominio $D={1<=x^2+y^2<=2, x>=|y|}



parametrizziamo la superficie $sigma$: questo è semplice perchè puoi usare la forma cartesiana che praticamente ti è data dal testo, quindi avresti $sigma(x,y) = (x, y, xy)$.
fatto questo, $||sigma_x ^^ sigma_y||$ dovrebbe essere $sqrt(1 + y^2 + x^2)$ (ricontrolla per sicurezza), dunque dovresti ottenere:

$int int_D \ 1/(x^2) sqrt(1 + y^2 + x^2) dx dy $
enr87
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 377 di 1103
Iscritto il: 11/08/2009, 21:09

Re: Integral superficiale con superficie proiettata sul pian

Messaggioda guybrush1989 » 11/08/2010, 22:23

enr87 ha scritto:
guybrush1989 ha scritto:Salve a tutti, ho un esercizio del genere:
calcolare l'integrale superficiale $int_{S} ((1/x^2)d sigma)$ dove S è la porzione di superficie di equazione $z=xy$, che si proietta nel piano xy nel dominio $D={1<=x^2+y^2<=2, x>=|y|}



parametrizziamo la superficie $sigma$: questo è semplice perchè puoi usare la forma cartesiana che praticamente ti è data dal testo, quindi avresti $sigma(x,y) = (x, y, xy)$.
fatto questo, $||sigma_x ^^ sigma_y||$ dovrebbe essere $sqrt(1 + y^2 + x^2)$ (ricontrolla per sicurezza), dunque dovresti ottenere:

$int int_D \ 1/(x^2) sqrt(1 + y^2 + x^2) dx dy $


sì, ricontrollerò i calcoli..cavoli, era così semplice, mentre io mi ero scervellato a fare tutta quella roba...
ti ringrazio molto per l'aiuto, non credo avrò problemi nella risoluzione di tale integrale :)
guybrush1989
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 96 di 147
Iscritto il: 11/06/2010, 19:47

Messaggioda enr87 » 11/08/2010, 22:43

bhè, tu non devi mai soffermarti sulla regola ma pensare a quello che c'è dietro. comunque così a priori non mi sembra neanche semplice da integrare, ma forse sarà perchè mi spavento ogni volta che vedo radici. prova e fammi sapere cosa ti esce se hai voglia
enr87
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 378 di 1103
Iscritto il: 11/08/2009, 21:09

Messaggioda guybrush1989 » 11/08/2010, 22:47

enr87 ha scritto:bhè, tu non devi mai soffermarti sulla regola ma pensare a quello che c'è dietro. comunque così a priori non mi sembra neanche semplice da integrare, ma forse sarà perchè mi spavento ogni volta che vedo radici. prova e fammi sapere cosa ti esce se hai voglia

sì, provo ad integrarlo e ti faccio sapere
guybrush1989
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 97 di 147
Iscritto il: 11/06/2010, 19:47

Messaggioda guybrush1989 » 13/08/2010, 18:19

ho provato ad integrare $int int_D \ 1/(x^2) sqrt(1 + y^2 + x^2) dx dy $, ma in coordinate cartesiane è molto difficile; poichè la natura del dominio lo fa intuire (si tratta di un settore di corona circolare), sono passato a coordinate polari, con le seguenti limitazioni:
$1<=rho<=sqrt(2), -pi/4<=theta<=pi/4
e sostituendo $x=rhocos(theta), y=rhosin(theta)$ l'integrale diventa:

$int int_C 1/(rhocos^2(theta))sqrt(1+rho^2)d rho d theta= int_(1)^(sqrt(2)) (sqrt(1+rho^2)/rho d rho) int_(-pi/4)^(pi/4) (1/(cos^2(theta))d theta).

Il primo integrale ho provato a risolverlo così:
$ int (sqrt(1+x^2)/x d x)$, sostituisco $1+x^2=t, x=sqrt(t-1), dx=1/(2sqrt(t-1))
quindi avrò $1/2int sqrt(t)/(t-1)dt
sostituendo, ancora, $sqrt(t)=m, t=m^2, dt=2m$ avrò:
$int m/(m^2-1)dm
a questo punto, ho aggiunto e sottratto 1 e quindi sarà:
$int m/(m^2-1)dm=int dm + int(dm/m^2-1)=m+1/2ln|m-1|-1/2ln|m+1|
dove $int(dm/m^2-1)$ l'ho risolto come integrale di funzione razionale.
risostituendo $m=sqrt(t)$ avrò:
$sqrt(t)+1/2ln|sqrt(t)-1|-1/2ln|sqrt(t)+1|$, e ricordando che $1+x^2=t$ sarà $sqrt(1+x^2)=sqrt(t)$ e quindi:
$ int (sqrt(1+x^2)/x d x)$=$sqrt(1+x^2)+1/2ln(sqrt(1+x^2)-1)-1/2ln(sqrt(1+x^2)+1)

non credo di aver fatto errori, eppure il risultato è differente da questo:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... sqrt(1%2Bx^2)dx)
guybrush1989
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 111 di 147
Iscritto il: 11/06/2010, 19:47


Torna a Analisi Matematica

Chi c’è in linea

Visitano il forum: lobacevskij, Marie-Sophie, mrlol198, Phos e 7 ospiti