Integrale con i residui

[maxsiviero]

Devo risolvere il seguente integrale
\[
I=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\cosh x}dx
\]
L'esercizio suggerisce di integrare lungo il cammino rappresentato dal rettangolo di vertici \( \displaystyle {\left(-{R},{0}\right)},{\left({R},{0}\right)},{\left({R},{R}+\pi{i}\right)},{\left(-{R},-{R}+\pi{i}\right)} \).
Ho riscritto l'integrale come
\[
I=\int_{0}^{+\infty}\frac{2x^{2}}{e^{x}+e^{-x}}dx
\]
E successivamente opero la seguente sostituzione \( \displaystyle {x}={{e}}^{{{p}}} \) ottengo
\[
J=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2e^{3p}}{e^{e^{p}}+e^{-e^{p}}}dp
\]
Considero la funzione complessa
\[
f(z)=\frac{2e^{3z}}{e^{e^{z}}+e^{-e^{z}}}
\]
A questo punto osservo che parametrizzando il segmento \( \displaystyle {\left({\left[-{R}+\pi{i},{R}+\pi{i}\right]}\right.} \) nel modo seguente \( \displaystyle {z}{\left({t}\right)}={t}+\pi{i},\qquad{t}\in{\left[-{R},{R}\right]} \) ottengo che
\[
\int_{[-R+\pi i,R+\pi i]}f(z)dz=\int_{-R}^{R}\frac{2e^{3(t+\pi i)}}{e^{e^{(t+\pi i)}}+e^{-e^{(t+\pi i)}}}dt
\]
svolgendo i conti ho che
\[
\int_{[-R+\pi i,R+\pi i]}f(z)dz=\int_{-R}^{R}f(z)dz
\]
ho inoltre verificato che l'integrale lungo i lati verticali del rettangolo si annulla per \( \displaystyle {R}\to+\infty \) e quindi ho che
\[
2J=2\pi i Res(f(z),w)
\]
dove \( \displaystyle {w} \) rappresenta i poli contenuti all'interno del cammino di integrazione.
A questo punto ho delle serie difficoltà a calcolare i poli di \( \displaystyle {f{{\left({z}\right)}}} \) data la forma del denominatore. Mi è però venuta un'idea che però ho paura che possa essere un'oscenità: se mi calcolo i poli della funzione ottenuta "complessificando " la funzione originaria? Intendo se calcolo i poli di
\[
g(z)=\frac{z^{2}}{\cosh z}
\]
e mi calcolo i residui in quelli contenuti all'interno del rettangolo e li utilizzo per il calcolo dell'integrale il procedimento è corretto? Lo chiedo perché così facendo il risultato si avvicina abbastanza a quello proposto, tanto da farmi illudere di essere sulla strada giusta.

[Paolo90]

Mi è però venuta un'idea che però ho paura che possa essere un'oscenità: se mi calcolo i poli della funzione ottenuta "complessificando " la funzione originaria? Intendo se calcolo i poli di
\[
g(z)=\frac{z^{2}}{\cosh z}
\]
e mi calcolo i residui in quelli contenuti all'interno del rettangolo e li utilizzo per il calcolo dell'integrale il procedimento è corretto? Lo chiedo perché così facendo il risultato si avvicina abbastanza a quello proposto, tanto da farmi illudere di essere sulla strada giusta.

Questo secondo metodo è certamente corretto e mi sembra essere la strada più conveniente. Se ben ricordo, questo esercizio non l'avevo terminato, avevo sbagliato qualche conto e non ho più trovato il tempo (e la voglia ) di rimettermi lì a fare i conti.

Prova un po', se non ti torna il risultato fammi un fischio che provo a rifarlo anche io.

[maxsiviero]

Ok, provo a fare i calcoli e vedo se i viene. Grazie mille!