Integrale con la radice

Messaggioda leena » 20/05/2009, 12:29

Ho difficoltà a risolvere questo integrale:
$intsqrt((ax-x^2))dx$
Qualcuno sa indicarmi un metodo di risoluzione?
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Messaggioda Andre@ » 20/05/2009, 14:01

$ax-x^2=x*(a-x)$
prova a porre $a-x=t^2$
Andre@
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Re: Integrale con la radice

Messaggioda piero_ » 20/05/2009, 21:46

leena ha scritto:Ho difficoltà a risolvere questo integrale:
$intsqrt((ax-x^2))dx$
Qualcuno sa indicarmi un metodo di risoluzione?


Se riscriviamo l'integrale così

$int(a·x - x^2)/sqrt(a·x - x^2)dx$
siamo ricondotti a integrali del tipo $int(P_n(x))/sqrt(ax^2+bx+c)dx$ (1)
che hanno un procedimento di calcolo un po' laborioso, ma efficace.
Gli integrali di tipo $I_n(x)$ (1) hanno soluzioni in questa forma:

$I_n(x)=q_(n-1)(x)sqrt(ax^2+bx+c)+lambda*int(dx/(sqrt(ax^2+bx+c)))$ (2)

con $lambda in RR$, $q_(n-1)(x)$ è un polinomio di grado n-1 a coefficienti indeterminati $q_(n-1)(x)=sum_(k=0)^(n-1)b_kx^k$.
I coefficienti e $lambda$ si ottengono derivando primo e secondo membro della (2).

fino a qui la teoria, adesso proviamo a calcolarlo.
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Messaggioda ciampax » 20/05/2009, 22:02

Ma più semplicemente, perché non scrivere $ax-x^2=a^2/4-(x-a/2)^2$ ? A questo punto con la sostituzione $x-a/2=a/2\sin t$ si ha $dx=a/2\cos t\ dt$ e quindi

$\int\sqrt{ax-x^2}\ dx=\int a^2/4\ \cos^2 t\ dt$

che è facile da integrare.
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Messaggioda piero_ » 20/05/2009, 22:33

$I_2(x)=int(a·x - x^2)/sqrt(a·x - x^2)dx$
$I_2(x)=q(x)sqrt(a·x - x^2)+lambdaint(dx)/(sqrt(a·x - x^2)$
$I_2(x)=(2b_2x+b_1)sqrt(a·x - x^2)+lambdaint(dx)/(sqrt(a·x - x^2)$

Derivando i due membri:

$(a·x - x^2)/sqrt(a·x - x^2)=2b_2sqrt(ax - x^2)+(a - 2·x)/(2·sqrt((ax - x^2)))*(2b_2x+b_1)+lambda/sqrt(ax-x^2)$
$(a·x - x^2)/sqrt(a·x - x^2)=- (8b_2·x^2 + 2·x·(b_1 - 3·b_2·a) - b_1·a - 2·lambda)/(2·sqrt((x·(a - x))))$
$(a·x - x^2)/sqrt(a·x - x^2)= (-4b_2·x^2 -x·(b_1 - 3·b_2·a) + b_1/2·a +lambda)/(sqrt((x·(a - x))))

otteniamo le relazioni che ci permettono di trovare i coefficienti:

$-4b_2=-1$
$-b_1+3b_2a=a$
$1/2b_1a+lambda=0$

tu prova a rivedere i calcoli, se tornano il più è fatto.
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Messaggioda piero_ » 20/05/2009, 22:47

ciampax ha scritto:Ma più semplicemente, perché non scrivere $ax-x^2=a^2/4-(x-a/2)^2$ ? A questo punto con la sostituzione $x-a/2=a/2\sin t$ si ha $dx=a/2\cos t\ dt$ e quindi

$\int\sqrt{ax-x^2}\ dx=\int a^2/4\ \cos^2 t\ dt$

che è facile da integrare.


sacrosanto, ma non l'avevo visto. meglio andare a dormire.
p.s.
dice il saggio: "le cose facili diventano difficili, attraverso le inutili" :wink:
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Messaggioda leena » 20/05/2009, 23:02

grazie mille a tutti. :D
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Messaggioda Andre@ » 21/05/2009, 00:10

ciampax ha scritto:Ma più semplicemente, perché non scrivere $ax-x^2=a^2/4-(x-a/2)^2$ ? A questo punto con la sostituzione $x-a/2=a/2\sin t$ si ha $dx=a/2\cos t\ dt$ e quindi

$\int\sqrt{ax-x^2}\ dx=\int a^2/4\ \cos^2 t\ dt$

che è facile da integrare.


Ci avevo pensato,ma ero a lavoro e non ho potuto rispondere!!! :(
Andre@
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