Integrale di radice

[DavideGenova]

Ciao, amici!
Vorrei sottoporre a chi si vuole divertire a calcolarlo un integrale che mi sta disorientando (formulo la radice come esponente frazionario per chiarire che sia nominatore sia denominatore sono sotto radice):
\( \displaystyle \int{{\left(\frac{{{3}-{2}{x}}}{{{4}+{x}}}\right)}}^{{\frac{{1}}{{2}}}}{\left.{d}{x}\right.} \)
Sostituendo y a \( \displaystyle {{\left(\frac{{{3}-{2}{x}}}{{{4}+{x}}}\right)}}^{{\frac{{1}}{{2}}}}={y} \) direi che \( \displaystyle {x}=\frac{{{3}-{4}{{y}}^{{2}}}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}} \), quindi, simbolicamente, abbiamo che \( \displaystyle {\left.{d}{x}\right.}={{\left(\frac{{{3}-{4}{{y}}^{{2}}}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}}\right)}}^{'}{\left.{d}{y}\right.}=\frac{{-{22}{y}}}{{{\left({{y}}^{{2}}+{2}\right)}}^{{2}}}{\left.{d}{y}\right.} \).
Perciò direi che \( \displaystyle \int{{\left(\frac{{{3}-{2}{x}}}{{{4}+{x}}}\right)}}^{{\frac{{1}}{{2}}}}{\left.{d}{x}\right.}=\int{y}{\left(\frac{{-{22}{y}}}{{{\left({{y}}^{{2}}+{2}\right)}}^{{2}}}\right)}{\left.{d}{y}\right.}=\int\frac{{-{22}{{y}}^{{2}}}}{{{\left({{y}}^{{2}}+{2}\right)}}^{{2}}}{\left.{d}{y}\right.} \)
Qua provo a scomporre la funzione integranda in addendi del tipo \( \displaystyle \frac{{{2}{A}{y}+{B}}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}}+\frac{{{2}{C}{y}+{D}}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}} \) e in vari altri modi simili, ma mi risulta sempre impossibile trovare degli A, B, C e D adeguati...
Qualcuno ha idee?
Ciao e grazie di cuore a tutti!
Davide

[piero_]

Qua provo a scomporre la funzione integranda in addendi del tipo \( \displaystyle \frac{{{2}{A}{y}+{B}}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}}+\frac{{{2}{C}{y}+{D}}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}} \) e in vari altri modi simili, ma mi risulta sempre impossibile trovare degli A, B, C e D adeguati...

ciao
scomponi così:

\( \displaystyle \frac{{Ax + B}}{{y^2 + 2}} + \frac{{Cx + D}}{{(y^2 + 2)^2 }} \)

con qualche calcolo trovi \( \displaystyle A=0 \) ; \( \displaystyle B=-22 \) ; \( \displaystyle C=0 \) ; \( \displaystyle D=44 \)

[giammaria]

Sei nel caso in cui la funzione integranda ha a denominatore un polinomio di secondo grado non scomponibile ed elevato a potenza e il numeratore ha grado inferiore al denominatore. Ci sono formule che abbreviano i calcoli, ma per evitarmi la fatica di ricordarle io faccio le sostituzioni necessarie affinchè il denominatore sia nella forma \( \displaystyle {{\left({{t}}^{{2}}+{1}\right)}}^{{n}} \) e poi ricordo che l'integrale è del tipo
\( \displaystyle \frac{{{P}{\left({t}\right)}}}{{{\left({{t}}^{{2}}+{1}\right)}}^{{{n}-{1}}}}+{A}{\ln{{\left({{t}}^{{2}}+{1}\right)}}}+{B}{a}{r}{c}{t}{g{{t}}}+{C} \)
in cui \( \displaystyle {P}{\left({t}\right)} \) è un polinomio a coefficienti sconosciuti, di grado inferiore al denominatore. Eguagli la derivata di questo risultato alla funzione integranda ed applichi il principio di identità dei polinomi per determinare i vari coefficienti.

[DavideGenova]

Grazie di cuore, amici!!!
È stato un po' laborioso, ma ci sono riuscito, grazie al vostro aiuto!
\( \displaystyle \int{{\left(\frac{{{3}-{2}{x}}}{{{4}+{x}}}\right)}}^{{\frac{{1}}{{2}}}}{\left.{d}{x}\right.}=\int{y}{\left(\frac{{-{22}{y}}}{{{\left({{y}}^{{2}}+{2}\right)}}^{{2}}}\right)}{\left.{d}{y}\right.}=\int\frac{{-{22}{{y}}^{{2}}}}{{{\left({{y}}^{{2}}+{2}\right)}}^{{2}}}{\left.{d}{y}\right.}=-{11}\sqrt{{{2}}}{a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{y}}{{\sqrt{{{2}}}}}\right)}}}+\int\frac{{44}}{{{\left({{y}}^{{2}}+{2}\right)}}^{{2}}}{\left.{d}{y}\right.}=-{11}\sqrt{{{2}}}{a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{y}}{{\sqrt{{{2}}}}}\right)}}}+{11}\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{y}}{{\sqrt{{{2}}}}}\right)}}}+{11}\int\frac{{-{{y}}^{{2}}+{2}}}{{{{\left({{y}}^{{2}}+{2}\right)}}^{{2}}}}{\left.{d}{y}\right.} \)
\( \displaystyle =-{11}\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{y}}{\sqrt{{{2}}}}\right)}}}+\frac{{y}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}}=-{11}\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}{a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{\sqrt{{{3}-{2}{x}}}}{\sqrt{{{8}+{2}{x}}}}\right)}}}+\sqrt{{{\left({3}-{2}{x}\right)}{\left({4}+{x}\right)}}}+{C} \)
Ciao a tutti!!!
Davide