Integrale doppio

[Mito125]

Ho il seguente integrale:

\( \displaystyle \int\int_{{E}}{x}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.} \) dove \( \displaystyle {E}={\left\lbrace{\left({x},{y}\right)}\in{\mathbb{R}}^{{2}}:{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}\le{16},{x}\le{0},{3}{x}+{y}\le{2}\right\rbrace} \)

Facendomi tranne in inganno dai primi due termini, ho provato a risolverlo con un cambiamento di variabile:

\( \displaystyle {\tilde{{E}}}={\left\lbrace{\left(\rho,\theta\right)}:{0}\le\rho\le{4},\frac{\pi}{{1}}\le\theta\le\frac{{3}}{{2}}\pi\right\rbrace} \)

ma non riesco ad esprimere l'ultima condizione in modo corretto... Credo comunque che sia il semicerchio a sinistra dell'asse y meno la parte in alto che viene eliminata dalla retta \( \displaystyle {3}{x}+{y}\le{2} \). Però poi non ho saputo trovare l'ultima condizione sull'insieme, quindi anche se l'integrale diventerebbe

\( \displaystyle \int\int_{{{\tilde{{E}}}}}{\rho}^{{2}}{\cos{\theta}}{d}\rho{d}\theta=\frac{{\rho}^{{3}}}{{3}}{\left|_{\left\lbrace{0},{4}\right\rbrace}\cdot{\sin{\theta}}\right|}_{{{a},{b}}} \)

Non riesco a trovare gli estremi di \( \displaystyle \theta \)... Credo di sbagliare perchè non si può esprimere quel taglio... Forse non dovevo fare il cambiamento di variabile, però mi sono bloccato così...

[ciampax]

Ho il seguente integrale:

\( \displaystyle \int\int_{{E}}{x}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.} \) dove \( \displaystyle {E}={\left\lbrace{\left({x},{y}\right)}\in{\mathbb{R}}^{{2}}:{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}\le{16},{x}\le{0},{3}{x}+{y}\le{2}\right\rbrace} \)

Facendomi tranne in inganno dai primi due termini, ho provato a risolverlo con un cambiamento di variabile:

\( \displaystyle {\tilde{{E}}}={\left\lbrace{\left(\rho,\theta\right)}:{0}\le\rho\le{4},\frac{\pi}{{1}}\le\theta\le\frac{{3}}{{2}}\pi\right\rbrace} \)

ma non riesco ad esprimere l'ultima condizione in modo corretto... Credo comunque che sia il semicerchio a sinistra dell'asse y meno la parte in alto che viene eliminata dalla retta \( \displaystyle {3}{x}+{y}\le{2} \). Però poi non ho saputo trovare l'ultima condizione sull'insieme, quindi anche se l'integrale diventerebbe

\( \displaystyle \int\int_{{{\tilde{{E}}}}}{\rho}^{{2}}{\cos{\theta}}{d}\rho{d}\theta=\frac{{\rho}^{{3}}}{{3}}{\left|_{\left\lbrace{0},{4}\right\rbrace}\cdot{\sin{\theta}}\right|}_{{{a},{b}}} \)

Non riesco a trovare gli estremi di \( \displaystyle \theta \)... Credo di sbagliare perchè non si può esprimere quel taglio... Forse non dovevo fare il cambiamento di variabile, però mi sono bloccato così...

Trarre!
In ogni caso, il passaggio a coordinate polari è corretto. per determinare i valori di \( \displaystyle \theta \), cerca i punti di intersezione della circonferenza e della retta e, da questi, risali ai valori degli angoli (un disegno ti aiuta molto nel capire quale sia la situazione in cui ti trovi).

[Mito125]

Si si trarre... Il disegno l'ho fatto e controllato con wolfram alpha, è quello, ma un cerchio con una fettina non tagliata, non passante però per il centro del semicerchio... Il problema è che non passa per il centro, tutto lì. Passa per il punto \( \displaystyle {\left[{0},{2}\right]} \) e \( \displaystyle {\left[\frac{{2}}{{3}},{0}\right]} \) quindi non riesco ad esprimere quella condizione...

[ciampax]

Effettivamente, facendo i conti viene una roba alquanto antipatica in coordinate polari! Dunque vediamo: l'unico punto di intersezione tra circonferenza e retta che ti interessa è questo \( \displaystyle {A}{\left(\frac{{{3}-\sqrt{{{39}}}}}{{5}},\frac{{{1}+{3}\sqrt{{{39}}}}}{{5}}\right)} \), in quanto l'altro ha l'ascissa positiva e, per definizione del tuo dominio, devi avere \( \displaystyle {x}\le{0} \). Ora, se disegni questo dominio, ti renderai conto che dovrai, in ongi caso, spezzarlo in due parti: una è formata da una bella "fetta" di sezione circolare, che va da questo punto di intersezione fino al punto \( \displaystyle {\left({0},-{4}\right)} \) (percorrendo la cirocnferenza in senso antiorario), l'altro pezzo è un triangolino che ha come vertici i punti \( \displaystyle {\left({0},{0}\right)},\ {\left({0},{2}\right)},\ {A} \). Pertanto puoi dedurre che le limitazioni per i due domini sono le seguenti: se indichiamo con \( \displaystyle \alpha\in{\left(\frac{\pi}{{2}},\pi\right)} \) l'angolo che corrisponde al punto \( \displaystyle {A} \), e separiamo il dominio come \( \displaystyle {E}={D}\cup{T} \) (la sezione di cerchio e il triangolo rispettivamente)

\( \displaystyle {D}={\left\lbrace\rho\in{\left[{0},{4}\right]},\ \theta\in{\left[\alpha,\frac{{3}}{{2}}\pi\right]}\right\rbrace} \)

\( \displaystyle {T}={\left\lbrace\rho\in{\left[{0},\frac{{2}}{{{3}{\cos{\theta}}+{\sin{\theta}}}}\right]},\ \theta\in{\left[\frac{\pi}{{2}},\alpha\right]}\right\rbrace} \)

dove la condizione sulla \( \displaystyle \rho \) per \( \displaystyle {T} \) segue dal fatto che, in coordinate polari, hai \( \displaystyle {3}\rho{\cos{\theta}}+\rho{\sin{\theta}}\le{2} \).

Inoltre per \( \displaystyle \alpha \) vale la condizione \( \displaystyle {\tan{\alpha}}=\frac{{\frac{{{1}+{3}\sqrt{{{39}}}}}{{5}}}}{{\frac{{{3}-\sqrt{{{39}}}}}{{5}}}}=-\frac{{{4}{\left({15}+\sqrt{{{39}}}\right)}}}{{15}} \)

[Mito125]

Io purtroppo non l'ho risolto così, ed ho evidentemente sbagliato... Quindi per capire alla fine facevo la somma degli integrali su D e T, ed avevo finito... Mi chiedo però se era possibile risolverlo senza adoperare il cambiamento di variabile... Perchè poteva sembrare un dominio x-semplice meno un pezzettino, oppure se si poteva risolvere cambiando E in modo da ottenere i limiti cercati, e poi integrare...

[ciampax]

Io effettivamente avrei risolto senza fare cambiamenti di variabile: puoi spezzare il dominio in due parti al modo seguente. Se indichiamo con \( \displaystyle {A}{\left(\alpha,\beta\right)} \) le coordinate del punto di intersezione, puoi usare i due domini

\( \displaystyle {D}_{{1}}={\left\lbrace-{4}\le{x}\le\alpha,\ -\sqrt{{{16}-{{x}}^{{2}}}}\le{y}\le\sqrt{{{16}-{{x}}^{{2}}}}\right.} \) è la fetta di circonferenza e

\( \displaystyle {T}_{{1}}={\left\lbrace\alpha\le{x}\le{0},\ -\sqrt{{{16}-{{x}}^{{2}}}}\le{y}\le{2}-{3}{x}\right\rbrace} \) è il triangolino di prima con, in più, un altra piccolo pezzo di circonferenza.

[Mito125]

Mi sembra molto più logico come procedimento... Segue un filo più diretto... Però il dominio \( \displaystyle {T}_{{1}} \) non l'ho capito tanto bene...

[ciampax]

Ricordati che stai considerando quasi tutta la meta della circonferenza che sta a sinistra dell'asse \( \displaystyle {y} \). Il dominio \( \displaystyle {T}_{{1}} \) è quello dove hai la limitazione dovuta alla presenza della retta, ecco perché è fatto così.