integrale

[Eve]

integrale definito tra zero e 1/4 della seguente funzione:

\( \displaystyle \frac{{{x}+{3}\sqrt{{x}}}}{{{1}-\sqrt{{x}}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

potete aiutarmi ?

[Cozza Taddeo]

Prova con la sostituzione
\( \displaystyle {t}=\sqrt{{x}} \)
e ricordati di cambiare anche gli estremi di integrazione...

[Eve]

ho fatto quella sostituzione ma nn so andare avanti nè so come cambiare gli estremi..è da poco che approccio con gli integrali...Non sono tanto esperta...ho bisogno di seguire lentamente..

[Camillo]

*Cambio limiti di integrazione

la sostituzione è \( \displaystyle {t}=\sqrt{{{x}}} \) quindi se \( \displaystyle {x}=\frac{{1}}{{4}} \) , allora \( \displaystyle {t}=\frac{{1}}{{2}} \) ; se \( \displaystyle {x}={0} \) allora \( \displaystyle {t}={0} \) .
I limiti di integrazione nella variabile \( \displaystyle {t} \) sono \( \displaystyle {0};\frac{{1}}{{2}} \) .

*Funzione integranda nella variabile \( \displaystyle {t} \) :
essndo \( \displaystyle {t}=\sqrt{{{x}}} \) sarà : \( \displaystyle {x}={{t}}^{{2}} \) e quindi \( \displaystyle {\left.{d}{x}\right.}={2}{t}\cdot{\left.{d}{t}\right.} \)
la funzione integranda diventa allora \( \displaystyle {\left({3}{t}+{{t}}^{{2}}\right)}\cdot{2}{t}\cdot\frac{{\left.{d}{t}\right.}}{{{1}-{t}}} \)

* L'integrale diventa allora :
\( \displaystyle {\int_{{0}}^{{\frac{{1}}{{2}}}}}{2}{\left({{t}}^{{3}}+{3}{{t}}^{{2}}\right)}\cdot\frac{{\left.{d}{t}\right.}}{{{1}-{t}}} \) non difficile da integrare , il grado del polinoimio al numeratore è > di quello del denominatore e quindi...

Edit : corretto errore , aggiunto \( \displaystyle {t} \) al numeratore.

[Eve]

quest'integrale è stato ricavato da questo problema:

disegnare il grafico della funzione : \( \displaystyle {y}=\frac{{{x}+{3}\sqrt{{x}}}}{{{1}-\sqrt{{x}}}} \)
e calcolare l'Area della regione piana limitata dall'asse x e dalle rette \( \displaystyle {x}={0} \) e \( \displaystyle {x}=\frac{{1}}{{4}} \)

io ho risolto quell'integrale con quella sostituzione ma mi viene 61/12e invece dovrebbe venire \( \displaystyle -\frac{{61}}{{12}}+{8}{\log{{2}}} \)

forse ho sbagliato nel considerare quell'integrale come risoluzione?o cosa?
grazie per il vostro aiuto.

[MaMo]

L'integrale diventa (Camillo si è dimenticato una t):

\( \displaystyle {2}{\int_{{0}}^{{\frac{{1}}{{2}}}}}{{t}}^{{2}}{\left(\frac{{{t}+{3}}}{{{1}-{t}}}\right)}{\left.{d}{t}\right.} \)

Dividendo numeratore per denominatore si ha:

\( \displaystyle {2}{\int_{{0}}^{{\frac{{1}}{{2}}}}}-{{t}}^{{2}}-{4}{t}-{4}+\frac{{4}}{{{1}-{t}}}{\left.{d}{t}\right.} \)

Integrando si ottiene:

\( \displaystyle {2}{{\left|-\frac{{{t}}^{{3}}}{{3}}-{2}{{t}}^{{2}}-{4}{t}-{4}{\ln{{\left({1}-{t}\right)}}}\right|}_{{0}}^{{\frac{{1}}{{2}}}}} \)

Inserendo i valori degli estremi si trova \( \displaystyle {2}{\left(-\frac{{1}}{{24}}-\frac{{1}}{{2}}-{2}+{4}{\ln{{2}}}\right)}=-\frac{{61}}{{12}}+{8}{\ln{{2}}} \).

[Camillo]

Grazie MaMo per la segnalazione : errore corretto.