Integrale

[Mirino06]

Ciao! Ho questo integrale da risolvere:

\( \displaystyle \int\frac{{{{x}}^{{2}}+{x}+{2}}}{{{{x}}^{{2}}+{16}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

Svolgendo i conti: \( \displaystyle \int{1}+\frac{{{x}-{14}}}{{{{x}}^{{2}}+{16}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

L'integrale di 1 è presto fatto, mentre trovo difficoltà per fare \( \displaystyle \int\frac{{{x}-{14}}}{{{{x}}^{{2}}+{16}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

Ho fatto così: \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}\int\frac{{{2}{x}-{28}}}{{{{x}}^{{2}}+{16}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

\( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}{\left[\int\frac{{{2}{x}}}{{{{x}}^{{2}}+{16}}}{\left.{d}{x}\right.}-{28}\int\frac{{1}}{{{{x}}^{{2}}+{16}}}{\left.{d}{x}\right.}\right]} \)

Non riesco a risolvere \( \displaystyle -{28}\int\frac{{1}}{{{{x}}^{{2}}+{16}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

Grazie, ciao.

[@melia]

Se raccogli il 16 a denominatore l'integrale diventa
\( \displaystyle -\frac{{7}}{{4}}\int\frac{{1}}{{{{\left(\frac{{x}}{{4}}\right)}}^{{2}}+{1}}}{\left.{d}{x}\right.}= \) ti è più familiare?, magari scritto così \( \displaystyle -{7}\int\frac{{\frac{{1}}{{4}}}}{{{{\left(\frac{{x}}{{4}}\right)}}^{{2}}+{1}}}{\left.{d}{x}\right.} \)

[Mirino06]

Non capisco come hai fatto a passare da \( \displaystyle -\frac{{7}}{{4}}\int\frac{{1}}{{{{\left(\frac{{x}}{{4}}\right)}}^{{2}}+{1}}}{\left.{d}{x}\right.}= \) a \( \displaystyle -{7}\int\frac{{\frac{{1}}{{4}}}}{{{{\left(\frac{{x}}{{4}}\right)}}^{{2}}+{1}}}{\left.{d}{x}\right.} \) In particolare, non capisco come hai fatto a togliere il \( \displaystyle {4} \) al \( \displaystyle -\frac{{7}}{{4}} \) e inserire dentro l'\( \displaystyle \frac{{1}}{{4}} \).

[WiZaRd]

Nel calcolo degli integrali le costanti moltiplicative si possono portare dentro e fuori segno di integrale. Leggendo \( \displaystyle \frac{7}{4} \) come \( \displaystyle 7\cdot\frac{1}{4} \) , allora puoi portare dentro \( \displaystyle \frac{1}{4} \) .

[Mirino06]

A questo punto penso che l'integrale sia immediato: ma qual è la regola per risolverlo?

[@melia]

\( \displaystyle -{7}{a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{x}}{{4}}\right)}}}+{c} \)

[Mirino06]

Grazie mille, ho capito.

[Mirino06]

Ciao, ho qualche problema su due integrali.

1) \( \displaystyle \int{{\ln}}^{{2}}{x}{\left.{d}{x}\right.} \) A me torna \( \displaystyle {x}{\left({{\ln}}^{{2}}{x}-{2}{\ln{{x}}}-{2}\right)} \) Il libro dice \( \displaystyle {x}{\left({{\ln}}^{{2}}{x}-{2}{{\ln{{x}}}}^{{2}}-{2}\right)} \)

2) \( \displaystyle \int\frac{{1}}{{{{x}}^{{3}}+{1}}}{\left.{d}{x}\right.} \) Fatto salvo di scomporre il denominatore, non so come procedere.

Grazie, ciao.

[adaBTTLS]

il primo a me viene \( \displaystyle {x}{{\ln}}^{{2}}{x}-{2}{x}{\ln{{x}}}+{2}{x}+{C} \), ma aspettiamo altri pareri più "lucidi".
sul secondo penso di poterti aiutare:
una volta scomposto il denominatore, applichi il metodo dei fratti semplici tenendo conto del fatto che il trinomio di secondo grado ha radici complesse.
determini \( \displaystyle {A},{B},{C} \) in modo che \( \displaystyle \frac{{A}}{{{x}+{1}}}+\frac{{{B}{x}+{C}}}{{{{x}}^{{2}}-{x}+{1}}}\equiv\frac{{1}}{{{{x}}^{{3}}+{1}}} \)
spero di essere stata utile. prova e facci sapere. ciao.

[Mirino06]

Grazie, il secondo mi torna. Per il primo, il dubbio rimane.