Integrale Triplo?

[nunziox]

\( \displaystyle \int\int\int_{{T}}{\left(\frac{{{x}}^{{2}}}{{{1}+{{z}}^{{2}}}}\right)}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}{\left.{d}{z}\right.} \)

\( \displaystyle {T}={\left\lbrace{\left({x}{y}{z}\right)}\in{{R}}^{{3}}:{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}\le{{z}}^{{2}}+{1},{\left|{z}\right|}\le{1}\right\rbrace} \)

non riesco a trovare gli estremi di integrazione... ho molte difficoltà.

[vict85]

\(\displaystyle x^2 + y^2 - z^2 \le 1 \) è una quadrico (unita al suo interno); in particolare è un iperboloide ad una falda unita al suo interno. Dopo di che devi applicare \(\displaystyle |z|\le 1 \).

Ti conviene prendere dimestichezza con questi oggetti matematici.

http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrica
http://it.wikipedia.org/wiki/Iperboloide

Per gli estremi di integrazione... \(\displaystyle -1\le z \le 1 \) per la \(\displaystyle z \) e l'altra condizione non assomiglia un po' ad una cosa del tipo \(\displaystyle x^2+y^2 \le r^2 \)... Che oggetto è?

[nunziox]

Ho pensato di integrare per sezione

\( \displaystyle {\int_{{-{1}}}^{{{1}}}}\frac{{1}}{{{{z}}^{{2}}+{1}}}{\left(\int\int_{{k}}{{x}}^{{2}}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}\right)}{\left.{d}{z}\right.} \)

risolvendo prima

\( \displaystyle {\left(\int\int_{{k}}{{x}}^{{2}}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}\right)}{\left.{d}{z}\right.} \)

con \( \displaystyle {k}={\left\lbrace{{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}\le{{z}}^{{2}}+{1}\right\rbrace} \)

mediante coordinate polari, quindi risolvendo:

\( \displaystyle {\int_{{{0}}}^{\sqrt{{{{z}}^{{2}}+{1}}}}}{\rho}^{{3}}{d}\rho\cdot{\int_{{{0}}}^{{{2}\pi}}}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}\cdot{d}\theta=\frac{{1}}{{4}}{{\left({{z}}^{{2}}+{1}\right)}}^{{2}}\cdot\pi \)

poi il tutto va integrato tra:

\( \displaystyle \frac{{1}}{{4}}\pi{\int_{{-{1}}}^{{{1}}}}{\left({{z}}^{{2}}+{1}\right)}{\left.{d}{z}\right.}=\frac{{2}}{{3}}\pi \)

pensate sia giusto?

[nunziox]

nessun aiuto?

[ciampax]

E' corretto: avresti potuto direttamente usare coordinate cilindriche fin dall'inizio in modo da avere l'integrale esteso al dominio

\( \displaystyle {K}={\left\lbrace{\rho}^{{2}}\le{{z}}^{{2}}+{1},\ -{1}\le{z}\le{1},\ \theta\in{\left[{0},{2}\pi\right]}\right\rbrace} \)

Che è poi l'integrale che calcoli.