Interi di Gauss: fattorizzazione

[Gatto89]

Probabilmente è una cavolata, ma mi ci sono bloccato...

Sto lavorando sugli interi di Gauss, che sono un dominio euclideo e quindi a maggior ragione un dominio a fattorizzazione unica.

Ho il polinomio \( \displaystyle {13}+{5}{i} \), con:

\( \displaystyle {13}+{5}{i}={\left({1}+{i}\right)}{\left({9}-{4}{i}\right)} \) che per motivi di norma sono irriducibili e

\( \displaystyle {13}+{5}{i}={\left({1}-{i}\right)}{\left({4}+{9}{i}\right)} \) che, similmente, sono irriducibili.

Ma i fattori non sono associati, quindi parrebbero due fattorizzazioni diverse. Come mai?

[alvinlee88]

Ma i fattori non sono associati, quindi parrebbero due fattorizzazioni diverse. Come mai?

I fattori sono associati: \( \displaystyle {\left({1}+{i}\right)}={i}{\left({1}-{i}\right)} \), \( \displaystyle {\left({9}-{4}{i}\right)}=-{i}{\left({4}+{9}{i}\right)} \), e \( \displaystyle {i},-{i} \) sono invertibili.

[Gatto89]

Oh that's right... grazie, immaginavo mi stavo perdendo in un bicchiere d'acqua

Un altro "dubbio": se devo trovare il MCD di due polinomi come \( \displaystyle {13}+{5}{i} \) e \( \displaystyle {8}+{9}{i} \), posso concludere direttamente che sono coprimi in quanto le loro norme (rispettivamente \( \displaystyle {194}={2}\cdot{97} \) e \( \displaystyle {165}={5}\cdot{41} \)) sono coprime e quindi i due interi gaussiani non possono avere fattori comuni?

[angus89]

Certo che puoi concluderlo...se le norme sono coprime allora sono comprimi anche i numeri, potresti anche dimostrarlo senza troppa fatica.
Se vuoi posto la dimostrazione.

[Gatto89]

Si la dimostrazione l'avevo fatta, è che questa parte la stavo iniziando ora e volevo essere sicuro di non imboccare una strada sbagliata
Grazie