Interi di Gauss

[ifra.]

Vi faccio una semplice domanda:
\( \displaystyle {2}+{2}{i} \) e \( \displaystyle {3}+{i} \) sono irriducibili in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{i}\right]} \)?
Secondo me lo so entrambi perchè sono non nulli e la loro norma diversa da 1, ma ho qualche dubbio dal momento che da questi due numeri dovrei partire per fare un esercizio che altrimenti non saprei svolgere.
Vi ringrazio

[rubik]

Uno dei due è palesemente riducibile. Basta avere norma diversa da 1 per essere irriducibili?

[ifra.]

Ok,\( \displaystyle {2}+{2}{i} \) si può scrivere come \( \displaystyle {2}\cdot{\left({1}+{i}\right)} \) ma poi devo trovare l'MCD tra questo e \( \displaystyle {3}+{1} \) e, a questo punto, non ne sono capace....

[rubik]

Io non mi ricordo precisamente la tecnica per calcolare il MCD negli interi di Gauss però sono un anello euclideo puoi fare la divisione, prova a farla. Poi:
\( \displaystyle {2} \) è irriducibile? \( \displaystyle {3}+{i} \)?
Ricorda che la norma è moltiplicativa quindi se \( \displaystyle {z}_{{1}}{\mid}{z}_{{2}} \) allora la norma di \( \displaystyle {z}_{{1}} \) divide la norma di \( \displaystyle {z}_{{2}} \) questo limita i divisori possibili di un numero.

[NightKnight]

Vale il seguente:
L'insieme degli irriducibili dell'anello degli interi di Gauss è \( \displaystyle {I}{r}{r}{\left(\mathbb{Z}{\left[{i}\right]}\right)}={\left\lbrace\mu{p}\in\mathbb{Z}{\left[{i}\right]}\ :\ {p}\in\mathbb{N}\ \text{primo},{p}\equiv{3}{\left(\text{mod}{4}\right)},\mu\in{\left\lbrace\pm{1},\pm{i}\right\rbrace}\right\rbrace}\cup{\left\lbrace{w}\in\mathbb{Z}{\left[{i}\right]}\ :\ {{\left|{w}\right|}}^{{2}}\in\mathbb{N}\ \text{e' primo in}\ \mathbb{Z}\right\rbrace} \).
Si vede che né \( \displaystyle {2}+{2}{i} \) né \( \displaystyle {3}+{i} \) appartengono all'insieme sopra, quindi sono riducibili.