intervalli sui razionali (??)

[fra_]

Avrei bisogno di un vostro consiglio.
Al corso di abilitazione mi è stato detto che non è possibile rappresentare sulla retta i seguenti insiemi:
\( \displaystyle {C}={\left\lbrace{x}:{x}\in\mathbb{Z}{e}{6}\lt{x}\right\rbrace}{D}={\left\lbrace{x}:{x}\in\mathbb{Q}{e}{x}\lt\gt{7}\right\rbrace} \)

in quanto I punti della retta possono essere messi in corrispondenza biiettiva con i reali e gli insiemi considerati sono sottoinsiemi di questi. Come indicare gli insiemi C e D che sono infiniti, D e’ addirittura denso nei reali?)

Oppure Tutti i numeri razionali negativi:
Non si può disegnare sulla retta perché i razionali negativi non si distinguerebbero dai reali negativi essendo densi in questi

Il problema si pone nel momento che trovo su di un libro di testo gli "intervalli in Q" per poi trattare le disequazioni in Q (Cosa ideale in quanto normalmente agli alunni non si è normalmente ancora fatta l'introduzione dei numeri reali!)

A me sembrava una cosa naturale, fare, in prima, esercizi con gli insiemi infiniti senza necessariamente dover già utilizzare i numeri reali (e lo stesso per le disequazioni di primo grado)

E' vero che al corso ci continuano a dire che i libri sono sbagliati e che noi docenti dobbiamo essere in grado di trovare gli errori con una "lettura critica" ma in questo caso mi sembra veramente difficile pensare che un libro si sia erroneamente inventato un intero capitolo.

Chi ha ragione secondo voi? Spero di essermi riuscita a spiegare.

Francesca

[Sergio]

Avrei bisogno di un vostro consiglio.
Al corso di abilitazione mi è stato detto che non è possibile rappresentare sulla retta i seguenti insiemi:
C ={x: x appartiene a Z e 6<x} D ={x: x appartiene a Q e x diverso da 7}

in quanto I punti della retta possono essere messi in corrispondenza biiettiva con i reali e gli insiemi considerati sono sottoinsiemi di questi. Come indicare gli insiemi C e D che sono infiniti, D e’ addirittura denso nei reali?)

Oppure Tutti i numeri razionali negativi:
Non si può disegnare sulla retta perché i razionali negativi non si distinguerebbero dai reali negativi essendo densi in questi

Premesso che sarà bene aspettare i giudizi di veri matematici, a me sembra che si tratti di capirsi: è possibile "rappresentare sulla retta gli interi o i razionali o loro sottoinsiemi", non è possibile assumere la retta come rappresentazione degli interi o dei razionali, perché i numeri razionali, a maggior ragione gli interi, non "ricoprono" la retta.
Guarda qui: http://w3.uniroma1.it/dario.sacchetti/Lezioni1.pdf, pagg. 6-11 (in particolare la pag. 10), che sembra trattare proprio questo problema in termini molto piani.

[fra_]

Rappresentare sulla retta i razionali, ok.
Ma suoi sottoinsiemi (e quindi intervalli)?
Nel link segnalato gli intervalli sono a pagina 16 e SOLO su R.

[Sergio]

Rappresentare sulla retta i razionali, ok.
Ma suoi sottoinsiemi (e quindi intervalli)?
Nel link segnalato gli intervalli sono a pagina 16 e SOLO su R.

In effetti, nel mio piccolo, non ho mai sentito parlare di intervalli su \( \displaystyle \mathbb{Q} \)
Però... in fondo un intervallo non è altro che un sottoinsieme (ad esempio, se ho capito bene i tuoi dubbi, i sottoinsiemi dei valori per i quali una disequazione è soddisfatta) ed è sicuramente lecito sia parlare di sottoinsiemi di \( \displaystyle \mathbb{Z} \) o di \( \displaystyle \mathbb{Q} \), sia rappresentare interi e razionali sulla retta.
Ma perché parlare di intervalli su \( \displaystyle \mathbb{Q} \) invece che di sottoinsiemi di \( \displaystyle \mathbb{Q} \)?
Per fare un esempio banale, \( \displaystyle {p}+{1}\gt{4} \), \( \displaystyle {p}\in\mathbb{Q} \), è soddisfatta per \( \displaystyle {p}\in{\left\lbrace{q}{\mid}{q}\in\mathbb{Q},{q}\gt{3}\right\rbrace} \) che si può anche rappresentare (con le dovute cautele) con:

Codice: Seleziona tutto

    |
----|----|=============> q
    0    3


Che bisogno c'è di dire che è soddisfatta per \( \displaystyle {p}\in{\left({3},+\infty\right)} \)? E siamo sicuri che abbia senso un intervallo \( \displaystyle {\left({3},+\infty\right)}\subset\mathbb{Q} \)? Avrei seri dubbi al riguardo...
Mi pare un problema di natura didattica, sul quale mi astengo per incompetenza (non sono un insegnante):
a) non parlare mai di intervalli su \( \displaystyle \mathbb{Q} \), per evitare confusioni quando poi si parlerà dei numeri reali e degli intervalli su \( \displaystyle \mathbb{R} \);
b) parlare di intervalli su \( \displaystyle \mathbb{Q} \) perché "intervallo" è più intuitivo di "sottoinsieme", preparandosi poi a chiarire per bene che gli intervalli sono in realtà sottoinsiemi di \( \displaystyle \mathbb{R} \).

[vict85]

Avrei bisogno di un vostro consiglio.
Al corso di abilitazione mi è stato detto che non è possibile rappresentare sulla retta i seguenti insiemi:
C ={x: x appartiene a Z e 6<x} D ={x: x appartiene a Q e x diverso da 7}

in quanto I punti della retta possono essere messi in corrispondenza biiettiva con i reali e gli insiemi considerati sono sottoinsiemi di questi. Come indicare gli insiemi C e D che sono infiniti, D e’ addirittura denso nei reali?)

Oppure Tutti i numeri razionali negativi:
Non si può disegnare sulla retta perché i razionali negativi non si distinguerebbero dai reali negativi essendo densi in questi

Il problema si pone nel momento che trovo su di un libro di testo gli "intervalli in Q" per poi trattare le disequazioni in Q (Cosa ideale in quanto normalmente agli alunni non si è normalmente ancora fatta l'introduzione dei numeri reali!)

A me sembrava una cosa naturale, fare, in prima, esercizi con gli insiemi infiniti senza necessariamente dover già utilizzare i numeri reali (e lo stesso per le disequazioni di primo grado)

E' vero che al corso ci continuano a dire che ilibri sono sbagliati e che noi docenti dobbiamo essere in grado di trovare gli errori con una "lettura critica" ma in questo caso mi sembra veramente difficile pensare che un libro si sia erroneamente inventato un intero capitolo.

Chi ha ragione secondo voi? Spero di essermi riuscita a spiegare.

Francesca

Il problema qui è solo che \( \displaystyle \mathbb{Q} \) non può essere messo in corrispondenza biunivoca con \( \displaystyle \mathbb{R} \) e quindi con la retta.

Usare la retta potrebbe effettivamente creare confusione. Non credo sia strettamente necessario usarla per spiegare le disequazioni di primo grado. La soluzione si può benissimo scrivere come \( \displaystyle {x}\gt{a} \) senza dover scrivere \( \displaystyle {x}\in{\left({a},\infty\right)} \) che personalmente trovo anche meno intuitivo.


P.S: A rigore un intervallo deve essere in \( \displaystyle \mathbb{R} \) o in un'altro insieme ordinato. In \( \displaystyle \mathbb{Q} \) si parla sempre e solo di insiemi.

[Fioravante Patrone]

Essendo un forum di matematica, i matematici zompano ratti ;-D
Ecco un matematico (scadente, però! Dice che \( \displaystyle \mathbb{R} \) è compatto e poi dice che è un errore irrilevante).

Nulla vieta di parlare di intervalli in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) o in \( \displaystyle \mathbb{Z} \).
Un intervallo è una roba del tipo \( \displaystyle {\left\lbrace{x}\in{X}:{a}\lt{x}\le{b}\right\rbrace} \) e simili. Con \( \displaystyle {a},{b}\in{X} \), naturalmente. Ci sono anche i cosi del tipo \( \displaystyle {\left[{a},\to{\left[\right.}\right.} \), etc. Quello che importa è che \( \displaystyle {X} \) sia un insieme ordinato.

Vorrei dire che, oltre agli aspetti/perplessità didattiche accennate, c'è un punto un po' delicato.
Gli intervalli di \( \displaystyle \mathbb{R} \) godono di proprietà molto importanti (connessione, per dirne una; ma sono importanti anche per aspetti legati alla compattezza: Bolzano-Weiertrass e il teorema di Weierstrass; idem per l'aspetto di completezza). Queste proprietà cadono in \( \displaystyle \mathbb{Q} \).
Ne va quindi fatto un uso accorto, quanto meno.

[fra_]

Ok, ma allora in una classe prima è così sbagliato rappresentare un insieme infinito (non su \( \displaystyle \mathbb{R} \)) su di una retta per far comprendere come è formato un insieme infinito? per il quale tra l'altro mi è stato detto che non si devono usare i puntini nell'elencazione perchè non è chiaro di quale insieme si parla.

[Fioravante Patrone]

Ok, ma allora in una classe prima è così sbagliato rappresentare un insieme infinito (non su \( \displaystyle \mathbb{R} \)) su di una retta per far comprendere come è formato un insieme infinito? per il quale tra l'altro mi è stato detto che non si devono usare i puntini nell'elencazione perchè non è chiaro di quale insieme si parla.

Non è sbagliato rappresentare un insieme infinito su una retta. Non vedo perché lo dovrebbe essere.
Ma attenzione, che un insieme infinito lo si può rappresentare anche dentro al piano. Lo puoi vedere come una struttura arborescente. Possono essere le mille bolle blu...


Quanto ai puntini nell'elencazione, se ne è parlato a iosa nel forum.
Ultimo thread questo:
http://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#200626

Interessante, e pepato quanto basta, questo:
http://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#111029



PS: non capisco cosa vuoi dire con:
"un insieme infinito (non su \( \displaystyle \mathbb{R} \)) "

[fra_]

Non è sbagliato rappresentare un insieme infinito su una retta. Non vedo perché lo dovrebbe essere.

PS: non capisco cosa vuoi dire con:
"un insieme infinito (non su \( \displaystyle \mathbb{R} \)) "

Il docente che mi ha corretto la relazione mi ha contestato di aver richiesto la rappresentazione sulla retta di sottoinsiemi infiniti degli interi e dei razionali (insiemi C e D di cui parlavo all'inizio); tutto questo si può fare solo sui reali (per questo dicevo: non su \( \displaystyle \mathbb{R} \))
Per esempio mi ha scritto:
\( \displaystyle \mathbb{Z} \)-{0} non e’ ne’ finito ne’ limitato sicche’ il suo grafico non e’ rappresentabile sulla retta
oppure
\( \displaystyle {\left\lbrace{x}:{x}\in\mathbb{Q}{e}\frac{{1}}{{3}}\lt{x}\lt\frac{{7}}{{2}}{e}\frac{{2}}{{3}}\lt{x}\lt\frac{{7}}{{4}}\right\rbrace} \) Non si può disegnare sulla retta perché i razionali dell’intervallo con gli estremi dati non si distinguono dai reali dello stesso intervallo

Inoltre ha ritenuto assolutamente fuori luogo l'uso dei connettivi logici (che qui non ho riportato): peccato che il libro di testo degli alunni li utilizza!

Vorrei capire se queste sono solo delle sue opinioni personali oppure no...

[Fioravante Patrone]

\( \displaystyle \mathbb{Z} \)-{0} non e’ ne’ finito ne’ limitato sicche’ il suo grafico non e’ rappresentabile sulla retta
oppure
\( \displaystyle {\left\lbrace{x}:{x}\in\mathbb{Q}{e}\frac{{1}}{{3}}\lt{x}\lt\frac{{7}}{{2}}{e}\frac{{2}}{{3}}\lt{x}\lt\frac{{7}}{{4}}\right\rbrace} \) Non si può disegnare sulla retta perché i razionali dell’intervallo con gli estremi dati non si distinguono dai reali dello stesso intervallo

Inoltre ha ritenuto assolutamente fuori luogo l'uso dei connettivi logici (che qui non ho riportato): peccato che il libro di testo degli alunni li utilizza!

Vorrei capire se queste sono solo delle sue opinioni personali oppure no...

Per quanto mi riguarda tutte le rappresentazioni che si fanno di enti matematici sulla carta, sulla lavagna, su uno schermo di pc, handwaving, sulla sabbia, etc. sono da intendere come delle rappresentazioni suggestive, nel senso etimologico del termine. Suggeriscono, cercano di dare una idea di "come sono fatti" gli enti che si cerca di rappresentare.

Quindi le obiezioni portate per me non sono valide, anche se la rappresentazione di un intervallo razionale è certo un po' problematica.

C'è però poi, se ho ben capito, un discorso di opportunità e d efficacia didattica, sul quale non mi sento di entrare in merito.
Questo "lato del discorso" potrebbe valere anche per i connettivi logici.

Queste che ho espresso qui sopra sono, come è ovvio e come sempre, delle mie opinioni personali. IMHO, insomma.