Inversione di una funzione non lineare

[Pondifex]

Ciao a tutti! Ho una funzione del tipo:

y(x)=m*x*(1 + 1/(EXP(B - A*x^2) - 1) )

con m, A e B parametri. Devo invertirla, sperimendo x in funzione di y!
Qualcuno ha qualche idea su come fare?
Grazie in anticipo!!

[gugo82]

Non è possibile farlo in modo elementare (se non per alcuni valori dei parametri).

Sicuro che ti serva esplicitamente conoscere la funzione inversa?

[Pondifex]

Si, purtroppo mi serve l'espressione esplicita! E' un problema di meccanica razionale molto importante, nel quale y è l'impulso coniugato di x! Se non riesco ad invertirla, non riesco a scrivere l'hamiltoniana! E se la volessi invertire in altri modi, magari numericamente? C'è un modo?

[dissonance]

Prova a scrivere esplicitamente la Lagrangiana di cui bisognerà calcolare la trasformata di Legendre. Ma per favore usa i codici adatti alla scrittura delle formule, è molto semplice e risparmia un sacco di fatica dei lettori:

come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

[Pondifex]

Ok! Scusate, ma non lo sapevo! Allora, il problema completo è il seguente:
Lagrangiana:
\( \displaystyle {\mathcal{{{L}}}}={\frac{{{1}}}{{{2}}}}{m}{{\dot{{{r}}}}}^{{{2}}}+{K}{\ln{{\left({1}-{\exp{{\left({A}{{\dot{{{r}}}}}^{{{2}}}-{B}\right)}}}\right)}}} \)
Impulso coniugato (sostituendo l'espressione esplicita di A, K e B):
\( \displaystyle {q}_{{{w}}}={m}{\dot{{{r}}}}{\left({1}-{\frac{{{1}}}{{{\exp{{\left({B}-{A}{{\dot{{{r}}}}}^{{{2}}}\right)}}}-{1}}}}\right)} \)
Ora, per scrivere la trasformata di Legendre dovrei invertire la funzione ed esprimere
\( \displaystyle {\dot{{{r}}}}{\left({q}_{{{w}}}\right)} \)
e qui sta il problema....

[Pondifex]

Non c'è nessuno che sà darmi indicazioni in merito? Anche di massima, di modo che possa trovare la via più rapida per risolverlo...