inverso ed opposto di una classe e divisore dello zero

[slyb]

Salve,
non riesco a capire qual è il procedimento corretto per calcolare la classe inversa ed opposta di un numero?
Per l'inversa, dopo aver verificato che l'mcd è 1, devo applicare il piccolo teorema di Fermat? o risolvere la congruenza?

esempio1 la classe opposta ed inversa di [93] in Z7
esempio2 la classe opposta inversa di [927] in Z13

Mentre nel caso di MCD >1 data una classe [a] in Zn qual è il procedimento per calcolare la classe [b] diversa 0 tale [a][b]=0
esempio: in Z63 sia a=[342] calcolare la classe b diversa da zero tale che [a][b]=0


Grazie in anticipo
Barbara

[Martino]

Ciao.

In entrambi i casi si tratta di ragionare sull'identita' di Bezout, ottenibile tramite l'algoritmo di Euclide.

Nel calcolo che riguarda i divisori dello zero in realtà basta ragionare sulle fattorizzazioni in primi.

[slyb]

Ciao, grazie per l'aiuto!!
se non ho capito male per calcolare l'inverso del primo esempio devo trovare la x della seguente equazione

esempio 1 : le soluzioni 93x+7y=1
giusto?

Mentre per l'opposto potresti farmi un esempio ?

Grazie mille
Barbara[/list]

[Martino]

Beh, la classe opposta di \( \displaystyle {\left[{93}\right]} \) in \( \displaystyle {Z}_{{7}} \) è naturalmente la classe di \( \displaystyle -{93} \)

[mistake89]

prima di tutto quando si parla di congruenze modulari conviene rifarsi ai rappresentanti canonici, rende tutto più semplice no?

e quindi \( \displaystyle {93}\equiv{2}\text{mod}{7} \)
e \( \displaystyle {927}\equiv{4}\text{mod}{13} \)

l'opposto è di \( \displaystyle {\left[{a}\right]} \) è definito \( \displaystyle {\left[-{a}\right]} \) quindi nessun calcolo da fare...
mentre per determinare l'inverso bisogna prima controllare che il MCD tra il modulo e il rappresentante sia 1 poiché determinare l'inverso vuol dire risolvere la congruenza \( \displaystyle {A}{X}\equiv{1}\text{mod}{n} \) con A ed n interi; e questa ha soluzione se e solo se A ed n sono coprimi tra loro!
quindi basta risolvere questa congruenza lineare ricordandosi che la soluzione X è data dal coefficiente di bezout e dal quoziente della divisione tra il secondo termine della congruenza (in questo caso 1) ed il MCD (in questo caso uno quindi in realtà soltanto dal coefficiente di bezout nel caso della determinazione dell'inverso)

quindi l'inverso di \( \displaystyle {\left[{2}\right]} \) è \( \displaystyle {\left[{4}\right]} \) e l'inverso di \( \displaystyle {\left[{4}\right]} \) è \( \displaystyle {\left[-{12}\right]} \)