Irriducibilità di un polinomio in \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{x}\right]} \)

[Martino]

Dalla terza equazione ricavo \( \displaystyle {d}=-{3}\frac{{b}}{{2}} \) e sostituendo nell'ultima si ha: \( \displaystyle {{b}}^{{2}}=-\frac{{2}}{{3}} \) ed è evidente che: \( \displaystyle \nexists{\overline{{b}}}\in\mathbb{Z}_{{5}}{\mid}{{\left({\overline{{b}}}\right)}}^{{2}}=-\frac{{2}}{{3}} \).

Ricorda che \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}={3} \), quindi hai ottenuto \( \displaystyle {d}=-{9}{b}={b} \).

[Andrea90]

Beh certo! Ora è evidente. Avevo preso un abbaglio. In ogni caso, fra gli altri casi dovrebbe esseri anche quello di \( \displaystyle {a}={4},{c}={4} \), no?

[Martino]

Beh certo! Ora è evidente. Avevo preso un abbaglio. In ogni caso, fra gli altri casi dovrebbe esseri anche quello di \( \displaystyle {a}={4},{c}={4} \), no?

Sì, ma facendo variare \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {c} \) ottieni solo fattori moltiplicati per un elemento invertibile. Per quanto ne so, quando si parla di fattorizzazioni si considerano due fattorizzazioni uguali se ogni fattore della seconda è ottenuto da un fattore della prima moltiplicandolo per un elemento invertibile.

[Andrea90]

Sì infatti. Una cosa: quando hai provato che potevo direttamente considerare \( \displaystyle {a}={c}={1} \), come hai fatto a dedurre che: \( \displaystyle {\left({{x}}^{{2}}+\frac{{b}}{{a}}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+\frac{{d}}{{c}}\right)}={\left({{x}}^{{2}}+{b}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{d}\right)} \) Non avresti già sfruttato il fatto (da dimostrare) che \( \displaystyle {a}={c}={1} \)? O forse mi sto confondendo in maniera ingiustificata?!

[Martino]

Sì infatti. Una cosa: quando hai provato che potevo direttamente considerare \( \displaystyle {a}={c}={1} \), come hai fatto a dedurre che: \( \displaystyle {\left({{x}}^{{2}}+\frac{{b}}{{a}}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+\frac{{d}}{{c}}\right)}={\left({{x}}^{{2}}+{b}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{d}\right)} \) Non avresti già sfruttato il fatto (da dimostrare) che \( \displaystyle {a}={c}={1} \)? O forse mi sto confondendo in maniera ingiustificata?!

Forse sono stato poco chiaro: non ho detto che vale l'uguaglianza \( \displaystyle {\left({{x}}^{{2}}+\frac{{b}}{{a}}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+\frac{{d}}{{c}}\right)}={\left({{x}}^{{2}}+{b}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{d}\right)} \), ho solo detto che la fattorizzazione \( \displaystyle {\left({{x}}^{{2}}+\frac{{b}}{{a}}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+\frac{{d}}{{c}}\right)} \) è del tipo \( \displaystyle {\left({{x}}^{{2}}+{b}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{d}\right)} \), cioè il prodotto di due polinomi del tipo \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+\text{costante} \).

Forse per essere più chiaro avrei dovuto usare lettere diverse, dire cioè che la fattorizzazione \( \displaystyle {\left({{x}}^{{2}}+\frac{{b}}{{a}}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+\frac{{d}}{{c}}\right)} \) è del tipo \( \displaystyle {\left({{x}}^{{2}}+{h}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{k}\right)} \).

[Andrea90]

Ah ok! Chiarissimo adesso!