Irriducibilità di \( \displaystyle {\left({x}-{a}_{{1}}\right)}\ldots{\left({x}-{a}_{{n}}\right)} \) \( \displaystyle \pm{1} \)\( \displaystyle \in\mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \)

[alvinlee88]

Oggi un mio compagno di facoltà m'ha proposto questo esercizio, non è difficile ma bellino.

Dimostrare che se \( \displaystyle {a}_{{1}},\ldots,{a}_{{n}} \) sono interi a due a due distinti e \( \displaystyle {n}\ge{2} \) un numero naturale, allora il polinomio \( \displaystyle {\left({x}-{a}_{{1}}\right)}{\left({x}-{a}_{{2}}\right)}\ldots{\left({x}-{a}_{{n}}\right)}-{1}\in{\mathbb{{Z}}}{\left[{x}\right]} \) è irriducibile in \( \displaystyle {\mathbb{{Z}}}{\left[{x}\right]} \).

Sulla linea di questo, ho pensato di sostituire \( \displaystyle -{1} \) con \( \displaystyle {1} \) e credo di essere giunto al seguente risultato:

Fatto: Sia \( \displaystyle {n} \) un numero naturale e \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\left({x}-{a}_{{1}}\right)}{\left({x}-{a}_{{2}}\right)}\ldots{\left({x}-{a}_{{n}}\right)}+{1}\in{\mathbb{{Z}}}{\left[{x}\right]} \). Allora \( \displaystyle {f} \) è irriducbile per ogni scelta di \( \displaystyle {a}_{{1}},\ldots,{a}_{{n}} \) distinti a due a due se e solo se \( \displaystyle {n}\ge{3} \),\( \displaystyle {n}\ne{4} \).

EDIT: ho editato l'enunciato del fatto.

[Martino]

Fatto: Siano \( \displaystyle {a}_{{1}},\ldots,{a}_{{n}} \) interi a due a due distinti, \( \displaystyle {n} \) un numero naturale e \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\left({x}-{a}_{{1}}\right)}{\left({x}-{a}_{{2}}\right)}\ldots{\left({x}-{a}_{{n}}\right)}+{1}\in{\mathbb{{Z}}}{\left[{x}\right]} \). Allora \( \displaystyle {f} \) è irriducbile in \( \displaystyle {\mathbb{{Z}}}{\left[{x}\right]} \) se e solo se \( \displaystyle {n}\ge{3} \),\( \displaystyle {n}\ne{4} \).

Qualcosa non mi torna: il polinomio \( \displaystyle {\left({x}-{1}\right)}{\left({x}-{2}\right)}+{1} \) è irriducibile di grado 2.

[Martino]

Fatto: Siano \( \displaystyle {a}_{{1}},\ldots,{a}_{{n}} \) interi a due a due distinti, \( \displaystyle {n} \) un numero naturale e \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\left({x}-{a}_{{1}}\right)}{\left({x}-{a}_{{2}}\right)}\ldots{\left({x}-{a}_{{n}}\right)}+{1}\in{\mathbb{{Z}}}{\left[{x}\right]} \). Allora \( \displaystyle {f} \) è irriducbile in \( \displaystyle {\mathbb{{Z}}}{\left[{x}\right]} \) se e solo se \( \displaystyle {n}\ge{3} \),\( \displaystyle {n}\ne{4} \).

Per quanto riguarda il grado 2, mi risulta che \( \displaystyle (x-a_1)(x-a_2)+1 \) è riducibile se e solo se \( \displaystyle |a_1-a_2|=2 \) .
Per quanto riguarda il grado 4, mi risulta che \( \displaystyle (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)+1 \) è riducibile se e solo se \( \displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4 \) sono quattro interi consecutivi, e in tal caso se sono ordinati secondo il loro indice si ha

\( \displaystyle (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)+1 = ((x-a_1)(x-a_4)+1)^2 \) .

Per quanto riguarda gli altri \( \displaystyle n \) mi trovo d'accordo.

Bello comunque!

[alvinlee88]

Per quanto riguarda il grado 2, mi risulta che \( \displaystyle (x-a_1)(x-a_2)+1 \) è riducibile se e solo se \( \displaystyle |a_1-a_2|=2 \) .
Per quanto riguarda il grado 4, mi risulta che \( \displaystyle (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)+1 \) è riducibile se e solo se \( \displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4 \) sono quattro interi consecutivi, e in tal caso se sono ordinati secondo il loro indice si ha

\( \displaystyle (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)+1 = ((x-a_1)(x-a_4)+1)^2 \) .

Si, quello che volevo dire è che per \( \displaystyle {n}={2},{4} \) esistono delle scelte degli \( \displaystyle {a}_{{i}} \) per cui il polinomo è riducibile. Avevo scritto male l'enunciato, ora ho editato.

Fra l'altro il mio controesempio nel caso \( \displaystyle {n}={4} \) era proprio \( \displaystyle {\left({x}-{1}\right)}{\left({x}-{2}\right)}{\left({x}-{3}\right)}{\left({x}-{4}\right)}+{1}={{\left({\left({x}-{1}\right)}{\left({x}-{4}\right)}+{1}\right)}}^{{2}} \), ma non conoscendo il tuo lemma l'ho trovato perchè la mia dim funzionava per tutti gli \( \displaystyle {n}\ge{3} \) a parte \( \displaystyle {n}={4} \), e non riuscendo a correggerla per \( \displaystyle {n}={4} \) ne ho ripercorso le tappe con quel numero fino a dove falliva, e in base al motivo per cui falliva mi son detto che quel polinomio era un buon candidato come controesempio. Cioè in pratica il metodo di dimostrazione stesso mi ha fornito un controesempio.

Per quanto riguarda gli altri \( \displaystyle n \) mi trovo d'accordo.
Bello comunque!

Vero?