Irriducibilità su \( \displaystyle {Z}_{{p}} \) primo

[AttraversamiIlCuore]

Salve a tutti!
Ho una domanda riguardo l'irriducibilità su \( \displaystyle {Z}_{{p}} \) con p primo.
Fino ad ora non ho avuto problemi fino a che ho trovato questo esercizio :

Fattorizzare in irriducibili il polinomio \( \displaystyle {{x}}^{{4}}-{{x}}^{{3}}-{7}{{x}}^{{2}}+{5}{x}+{10} \) su \( \displaystyle {Q} \), \( \displaystyle {R} \), \( \displaystyle {Z}_{{5}} \).

Ed è facile :
Su \( \displaystyle {Q}:{\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}{\left({{x}}^{{2}}-{5}\right)} \)
Su \( \displaystyle {R}:{\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}{\left({x}+\sqrt{{{5}}}\right)}{\left({x}-\sqrt{{{5}}}\right)} \)

Su \( \displaystyle {Z}_{{5}} \) viene \( \displaystyle {\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}{{x}}^{{2}} \)
E il mio libro da come soluzione \( \displaystyle {\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}{{x}}^{{2}} \), ok per \( \displaystyle {\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)} \) ma \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \) non è riducibile su \( \displaystyle {Z}_{{5}} \) in quanto 0 è una radice?!
E in generale quando lavoro su \( \displaystyle {Z}_{{p}} \) il polinomio (secondo o terzo grado) è irriducibile se non ha soluzioni no?
Scusate ma questo esercizio mi ha generato un pò di dubbi...grazie per la disponibilità

[angus89]

I polinomi di primo grado sono sempre irriducibili.
In \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{5}} \) \( \displaystyle {q}{\left({x}\right)}={x} \) ha una radice, cioè 0, ma anche \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)}={x}-{2} \) ha una radice che è 2, così anche \( \displaystyle {r}{\left({x}\right)}={x}+{1} \) ha -1 come radice, ma sono di primo grado, dunque irriducibili.
Dunque \( \displaystyle {\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}{x}\cdot{x} \) è la tua fattorizzazione in fattori di primo grado irridicibili, scritto meglio \( \displaystyle {\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}{{x}}^{{2}} \)

[AttraversamiIlCuore]

Ah ho capito... quindi ad esempio anche \( \displaystyle {2}{{x}}^{{7}} \) considerato su \( \displaystyle {Z}_{{5}} \) è irriducibile perchè è come se lo considerassi \( \displaystyle {2}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x} \) cioè 7 di primo grado, che per comodità vengono accorpate?!
Ti ringrazio ancora per la disponibilità!

[angus89]

attenzione, è solo una questione di linguaggio, hai capito, ma attento
\( \displaystyle {2}\cdot{{x}}^{{7}} \) non è irriducibile, ma è già espresso come prodotto di irriducibili

Ad esempio in \( \displaystyle \mathbb{R} \) il polinomio \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{2}{x}+{1} \) non è espresso come prodotto di polinomi irriducibili \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{2}{x}+{1}={{\left({x}-{1}\right)}}^{{2}} \)
ora lo è.

[Gatto89]

Ah ho capito... quindi ad esempio anche \( \displaystyle {2}{{x}}^{{7}} \) considerato su \( \displaystyle {Z}_{{5}} \) è irriducibile perchè è come se lo considerassi \( \displaystyle {2}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x}\cdot{x} \) cioè 7 di primo grado, che per comodità vengono accorpate?!

Aspetta, a prescindere dal fatto che il contenuto non è corretto come ti ha fatto notare Angus, facciamo un secondo chiarezza tra polinomio irriducibile e polinomio scomposto come prodotto di irriducibili che è ben diverso... un polinomio in \( \displaystyle {A}{\left[{x}\right]} \) è irriducibile se \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={Q}{\left({x}\right)}{R}{\left({x}\right)}\rightarrow{Q}{\left({x}\right)}\in{U}{\left({A}{\left[{x}\right]}\right)} \) o \( \displaystyle {R}{\left({x}\right)}\in{U}{\left({A}{\left[{x}\right]}\right)} \). Un polinomio è scomposto come prodotto di irriducibili se, come dice il nome, è espresso come prodotto dei suoi fattori irriducibili.

Per esempio, in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \) il polinomio \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={x}{\left({x}+{1}\right)} \) è scomposto in fattori irriducibili ma si vede bene dall'essere irriducibile lui, infatti \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={x}\cdot{\left({x}+{1}\right)} \) e \( \displaystyle {x}\notin{U}{\left(\mathbb{Z}{\left[{x}\right]}\right)} \) e \( \displaystyle {x}+{1}\notin{U}{\left(\mathbb{Z}{\left[{x}\right]}\right)} \).