isomorfismi con prodotto tensore

[Thomas]

Solito dubbio di algebra stupido... ma che ci volete fare

E' vero che \( \displaystyle {{L}}^{{2}}\otimes{{C}}^{{2}}\sim{{L}}^{{2}}\ \oplus{{L}}^{{2}} \)? dove con \( \displaystyle {{L}}^{{2}} \) intendo lo spazio vettoriale delle funzioni a valori complesse sulla retta reale... mentre \( \displaystyle {C} \) sono i numeri complessi...

A me sembra di si seguendo (formalmente) questi passaggi:

\( \displaystyle {{L}}^{{2}}\otimes{{C}}^{{2}}\sim{{L}}^{{2}}\otimes{\left({C}\oplus{C}\right)}\sim{\left({{L}}^{{2}}\otimes{C}\right)}\oplus{\left({{L}}^{{2}}\otimes{C}\right)}\sim{{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \)

che almeno se \( \displaystyle {{L}}^{{2}} \) fosse di dimensione finita forse saprei giustificare.... ma non so se sono veri nel caso di dimensione infinita...

se la risposta fosse si ok è vero, qualcuno saprebbe esibire un isomorfismo in modo più esplicito? o almeno dirmi se l'immagine di \( \displaystyle {f{\otimes}}{\left({1},{0}\right)} \) è \( \displaystyle {\left({f},{0}\right)} \)?

è che sto cercando di dare un senso a delle formule lette in giro... e scusate se sto pensando delle castronerie....

[rubik]

considera l'applicazione definita sui tensori puri \( \displaystyle {f{\otimes}}{\left(\lambda,\mu\right)}\to{\left(\lambda\cdot{f},\mu\cdot{f}\right)} \) (con questa applicazione \( \displaystyle {f{\otimes}}{\left({1},{0}\right)}\to{\left({f},{0}\right)} \))
sia \( \displaystyle {\left\lbrace{f}_{{i}}\right\rbrace} \) una base di \( \displaystyle {{L}}^{{2}} \) allora \( \displaystyle {f{\otimes}}{\left(\lambda,\mu\right)}={\left(\sum\alpha_{{i}}\cdot{f}_{{i}}\right)}\otimes{\left(\lambda,\mu\right)}=\sum{\left({f}_{{i}}\otimes{\left(\alpha_{{i}}\cdot\lambda_{{i}},\alpha_{{i}}\cdot\mu_{{i}}\right)}\right.} \) quindi ogni tensore si può scrivere \( \displaystyle \sum{f}_{{i}}\otimes{\left(\lambda_{{i}},\mu_{{i}}\right)} \) per opportuni \( \displaystyle \lambda_{{i}},\mu_{{i}} \)

iniettività: supponiamo che \( \displaystyle \sum{f}_{{i}}\otimes{\left(\lambda_{{i}},\mu_{{i}}\right)}\to{0} \) allora \( \displaystyle \sum{f}_{{i}}\cdot\lambda_{{i}}={0} \) e \( \displaystyle \sum{f}_{{i}}\cdot\mu_{{i}}={0} \) siccome \( \displaystyle {\left\lbrace{f}_{{i}}\right\rbrace} \) è una base tutti i coefficienti devono essere zero
suriettività: \( \displaystyle {\left({f},{g}\right)}\in{{L}}^{{2}} \) è immagine di \( \displaystyle {f{\otimes}}{\left({1},{0}\right)}+{g{\otimes}}{\left({0},{1}\right)} \)

dovrebbe funzionare, ciao

[Thomas]

ti ringrazio, as usual... un pò di chiarimenti:

-a seguire la logica del tuo discorso sembra che hai dimostrato l'iniettività solo "sui tensori puri"...

-i passaggi che hai fatto terminerebbero ugualmente se fosse vero che "ogni elemento di quel prodotto tensore si scrivesse nella forma" \( \displaystyle \sum{f}_{{i}}\otimes{\left(\lambda_{{i}},\mu_{{i}}\right)} \)... ancora questo mi è evidente in dimensione finita, dove ogni tensore si scrive come somma finita di tensori puri... continua ad essere vero qui?

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Per "risolvere" questi dubbi pensavo di tagliare la testa al toro e considerare \( \displaystyle \rho:{{L}}^{{2}}{x}{{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \) t.c. \( \displaystyle \rho{\left({g},{\left(\mu,\lambda\right)}\right)}={\left(\mu\cdot{g},\lambda\cdot{g}\right)} \) che se multilineare induceva una mappa lineare \( \displaystyle \eta \) tra gli spazi voluti (che poi dovrebbe essere la tua)... e ricordo che questo trucchetto poteva servire per creare isomorfismi....

solo che non ricordo bene al momento e pensavo di dover dimostrare la surgettività della \( \displaystyle \rho \) (l'iniettività pensavo di averla gratis) per avere la surgettività della \( \displaystyle \eta \)... ma non mi riusciva, anzi mi sembrava che non lo fosse... boh girando per wiki non capisco molto e libri di algebra qua non ne ho.... come funzia il tutto? che proprietà ha la \( \displaystyle \eta \) in modo automatico e cosa si deve dimostrare?

in ogni caso il tuo post dimostra in due righe la surgettività della \( \displaystyle \eta \) direttamente che non mi era venuta in mente (anche se ripeto, si deve dimostrare o è gratis?) e quindi siamo a posto...

rimane la questione dell'iniettività che si ricollega alla parte iniziale del post quando il toro era ancora vivo ...

scusa se ti ho riempito di domande confuse , come al solito....

[rubik]

Io direi che anche in dimensione infinita i tensori sono somme finite di tensori puri, metto in spoiler la spiegazione perchè mi pare ci siano altri problemi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Vediamo una costruzione del prodotto tensoriale tra due R-moduli: dati \( \displaystyle {M},{N} \) R-moduli si definisce \( \displaystyle {M}\otimes{N}={{R}}^{{{\left({N}\times{M}\right)}}}\//~ \) dove \( \displaystyle ~ \) è la relazione di equivalenza definita dalle proprietà di bilinearità.
cos'è \( \displaystyle {{R}}^{{{\left({N}\times{M}\right)}}} \)? è l'insieme delle somme finite \( \displaystyle \sum\alpha_{{i}}{\left({x}_{{i}},{y}_{{i}}\right)} \) dove \( \displaystyle \alpha_{{i}}\in{R},{x}_{{i}}\in{N},{y}_{{i}}\in{M} \)
Chi è un tensore puro \( \displaystyle {x}\otimes{y} \) in \( \displaystyle {M}\otimes{N} \)? è la classe di equivalenza dell'elemento \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)} \) di \( \displaystyle {{R}}^{{{\left({N}\times{M}\right)}}} \)
Cos'è un tensore qualunque in \( \displaystyle {M}\otimes{N} \)? è la classe di equivalenza di un elemento \( \displaystyle \sum\alpha_{{i}}{\left({x}_{{i}},{y}_{{i}}\right)}\in{{R}}^{{{\left({N}\times{M}\right)}}} \) (la somma è finita) ora la relazione di equivalenza "rispetta" la somma e la moltiplicazione per elementi di R quindi (uso le parentesi quadre per classe): \( \displaystyle {\left[\sum\alpha_{{i}}{\left({x}_{{i}},{y}_{{i}}\right)}\right]}=\sum{\left[\alpha_{{i}}{\left({x}_{{i}},{y}_{{i}}\right)}\right]}=\sum\alpha_{{i}}{\left[\matrix{{x}_{{i}}&{y}_{{i}}}\right]}=\sum\alpha_{{i}}{x}_{{i}}\otimes{y}_{{i}} \)

quindi ogni elemento del prodotto tensoriale è somma finita di tensori puri, indipendentemente da M,N, quindi anche nel caso di spazi vettoriali di dimensione infinita.

detto questo se un tensore puro è \( \displaystyle \sum{f}_{{i}}\otimes{\left(\lambda_{{i}},\mu_{{i}}\right)} \) con \( \displaystyle {f}_{{i}} \) elementi della base e la somma finita abbiamo per la somma di due tensori puri:

\( \displaystyle \sum{f}_{{i}}\otimes{\left(\lambda_{{i}},\mu_{{i}}\right)}+\sum{f}_{{i}}\otimes{\left(\alpha_{{i}},\beta_{{i}}\right)}=\sum{f}_{{i}}\otimes{\left(\lambda_{{i}}+\alpha_{{i}},\mu_{{i}}+\beta_{{i}}\right)} \) visto che facciamo somme finite una facile induzione ci dice che i tensori sono tutti del tipo \( \displaystyle \sum{f}_{{i}}\otimes{\left(\lambda_{{i}},\mu_{{i}}\right)} \)

quindi ammesso che io non abbia sbagliato niente finora l'iniettività è dimostrata su tutti i tensori.

ho qualche dubbio: mi pare che la tua \( \displaystyle \rho \) non sia bilineare (fallisce il test al secondo membro) quindi non "passa" al prodotto tensoriale, però la tua \( \displaystyle \rho \) sembra la mia di funzione, quindi forse anche la mia non va anche se non capisco dove non funziona. continuo a pensarci, se trovi una falla nella mia funzione fammi sapere!

[Thomas]

- bene bene... si vedendo il prodotto tensore con quella costruzione la cosa è ovvia

a ma pare bilineare la \( \displaystyle \rho \)... perchè dici che fallisce nel secondo argomento?...

[Thomas]

linearità (così faccio qualche calcolo anche io e non faccio sempre scrivere tutto a te )

\( \displaystyle {\left({g},{\left(\mu_{{1}}+\mu_{{2}},\lambda_{{1}}+\lambda_{{2}}\right)}\right)}\to{\left({\left(\mu_{{1}}+\mu_{{2}}\right)}{g},{\left(\lambda_{{1}}+\lambda_{{2}}\right)}{g}\right)}={\left({\left(\mu_{{1}}\right)}{g{+}}{\left(\mu_{{2}}\right)}{g},{\left(\lambda_{{1}}\right)}{g{+}}{\left(\lambda_{{2}}\right)}{g}\right)}={\left(\mu_{{1}}{g},\lambda_{{1}}{g}\right)}+{\left(\mu_{{2}}{g},\lambda_{{2}}{g}\right)} \)

[rubik]

ci ho pensato poco perchè sto preparando un esame e a quanto pare ho fatto qualche conto folle per riuscire a non farmi tornare le cose.

La tua mappa funziona e induce sul prodotto tensoriale un'unica mappa in \( \displaystyle {{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \) che è quella che ho scritto io.

Non so come ti abbiano presentato il prodotto tensoriale però credo che la questione delle somme finite si possa vedere anche così: dato \( \displaystyle {V} \) spazio vettoriale con base \( \displaystyle {v}_{{i}} \) e \( \displaystyle {W} \) con base \( \displaystyle {w}_{{i}} \) il prodotto tensoriale \( \displaystyle {V}\otimes{W} \) è uno spazio vettoriale con base \( \displaystyle {v}_{{i}}\otimes{w}_{{j}} \) (questo credo andrebbe comunque dimostrato) quindi ogni tensore è somma finita di questi tensori puri

la suriettività della \( \displaystyle \eta \) è equivalente alla suriettività della \( \displaystyle \rho \) perchè c'è un piccolo diagrammino triangolare che commuta: hai \( \displaystyle \rho:{{L}}^{{2}}\times{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \), \( \displaystyle \pi:{{L}}^{{2}}\times{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\otimes{\mathbb{C}}^{{2}} \) e \( \displaystyle \eta:{{L}}^{{2}}\otimes{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \) e vale \( \displaystyle \rho=\eta\circ\pi \)

per quanto riguarda l'iniettività non so se ce l'hai gratis, mi viene in mente un esempio stupido: la mappa che manda tutto in zero \( \displaystyle {A}:{{L}}^{{2}}\times{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \) ne induce una sul prodotto tensoriale che non è iniettiva.
La tua \( \displaystyle \rho \) non è iniettiva perchè manda ad esempio \( \displaystyle {\left({g},{\left({0},{0}\right)}\right)}\to{\left({0},{0}\right)} \) però poi questi oggetti vengono mandati tutti nella classe nulla nel prodotto tensoriale e la \( \displaystyle \eta \) risulta in effetti iniettiva, quindi non so che proprietà debba soddisfare la \( \displaystyle \rho \) affinchè lo sia la \( \displaystyle \eta \).

vedi un po' se ti tornano le cose
ciao

[Thomas]

la suriettività della \( \displaystyle \eta \) è equivalente alla suriettività della \( \displaystyle \rho \) perchè c'è un piccolo diagrammino triangolare che commuta: hai \( \displaystyle \rho:{{L}}^{{2}}\times{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \), \( \displaystyle \pi:{{L}}^{{2}}\times{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\otimes{\mathbb{C}}^{{2}} \) e \( \displaystyle \eta:{{L}}^{{2}}\otimes{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \) e vale \( \displaystyle \rho=\eta\circ\pi \)

questo non mi torna, tutto il resto si!... la \( \displaystyle \rho \) potrebbe non essere suriettiva e la \( \displaystyle \eta \) si... infatti la \( \displaystyle \eta \) è definita su elementi del prodotto tensore che non intervengono in quella relazione di commutazione...
non so dirlo bene... il punto è che l'immagine della \( \displaystyle \rho \) è l'immagine della \( \displaystyle \eta \) ma con dominio ristretto all'immagine di \( \displaystyle \pi \), che però non è tutto il prodotto tensore... (in quanto appunto non tutti i tensori sono puri)...

questo si verifica anche nell'esempio... (per questo non mi tornava) dove la \( \displaystyle \eta \) è surgettiva mentre l'immagine della \( \displaystyle \rho \) per cotruzione deve avere sulle due componenti due funzioni dipendenti...

dimmi se si capisce... magari il fatto che non riesca a dirlo chiaro vuol dire che è una cavolata...

anyway in conclusione la mappa indotta non ha nè surgettività nè iniettività gratis come segue dai tuoi esempi... ma allora tutte le volte che viene utilizzata la proprietà universale si controlla che ci siano queste due? non ricordavo... beh quando avrò un libro davanti (tipo quello del tuo prof Nacinovich ) (tra due settimane) controllerò

l'importante è avere almeno una dimo che fuziona!!

[rubik]

la suriettività della \( \displaystyle \eta \) è equivalente alla suriettività della \( \displaystyle \rho \) perchè c'è un piccolo diagrammino triangolare che commuta: hai \( \displaystyle \rho:{{L}}^{{2}}\times{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \), \( \displaystyle \pi:{{L}}^{{2}}\times{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\otimes{\mathbb{C}}^{{2}} \) e \( \displaystyle \eta:{{L}}^{{2}}\otimes{\mathbb{C}}^{{2}}\to{{L}}^{{2}}\oplus{{L}}^{{2}} \) e vale \( \displaystyle \rho=\eta\circ\pi \)

La definizione di prodotto tensoriale dice che dati due spazi vettoriali \( \displaystyle {V},{W} \) esiste un terzo spazio vettoriale \( \displaystyle {V}\otimes{W} \) ed un'applicazione lineare \( \displaystyle \pi:{V}\times{W}\to{V}\otimes{W} \) tali che per ogni applicazione bilineare \( \displaystyle {F}:{M}\times{N}\to{P} \) esiste un'unica applicazione \( \displaystyle {F}':{V}\otimes{W}\to{P} \) tale che \( \displaystyle {F}={F}'\oplus\pi \). Il prodotto tensoriale è unico a meno di isomorfismi

sulla suriettività hai ragione, non vale un se e solo se: se la \( \displaystyle \rho \) è suriettiva lo è anche la \( \displaystyle \eta \) ma non è detto il viceversa, come infatti succede nel nostro caso.

Quando avrai controllato fammi sapere

[Thomas]

La definizione di prodotto tensoriale dice che dati due spazi vettoriali \( \displaystyle {V},{W} \) esiste un terzo spazio vettoriale \( \displaystyle {V}\otimes{W} \) ed un'applicazione lineare \( \displaystyle \pi:{V}\times{W}\to{V}\otimes{W} \) tali che per ogni applicazione bilineare \( \displaystyle {F}:{M}\times{N}\to{P} \) esiste un'unica applicazione \( \displaystyle {F}':{V}\otimes{W}\to{P} \) tale che \( \displaystyle {F}={F}'\oplus\pi \). Il prodotto tensoriale è unico a meno di isomorfismi

non capisco perchè hai scritto la definizione ma un ripasso fa sempre bene in tutto (specia a me che in quanto a memoria )... anyway mi sembra che manchi la parola "lineare" di fianco ad \( \displaystyle {F}' \)...

mi pare che abbiamo chiarito che a lineare non si possa aggiungere nè la parola iniettiva nè la parola surgettiva per gli esempi fatti sopra..

beh ti ringrazio per avermi chiarito la questione iniziale sei sempre una manna dal cielo (l'isomorfismo c'è!) ed alla prox... buono studio!

Quando avrai controllato fammi sapere

ssi controllo... anche se ora mi sono convinto che tutte le volte si deve controllare iniettività e surgettività (a parte in dimensione finita dove ne basta una ovviamente )...