isomorfismi

[natia88]

sia G un gruppo abeliano finito di ordine n e sia f:G->G l'omomorfismo definito da \( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}}={{a}}^{{-{1}}} \) per ogni a appartenente a G. Sia G2={\( \displaystyle {{g}}^{{2}} \) : g appartiene a G}. Sia H={g appartenente a G : f(g)=g}. Dimostrare che G/H è isomorfo a G2.

[WiZaRd]

@natia88
L'uso dei compilatori è fortemente indicato per scrivere tutte le formule, non una sì e tre no. Inoltre non credo che troverai molto aiuto lasciando la traccia così com'è: non è nello spirito del forum risolvere esercizi o problemi, ma discutere sulle difficoltà che si incontrano nel risolversi o sulle domande che essi inducono; ergo sarebbe cosa gradita se tu ci dicessi cosa hai già fatto per l'esercizio, a che punto ti blocchi, cosa pensi possa aiutarti delle teoria che hai studiato ecc.

[natia88]

no problem!ho risolto!!!

[Martino]

Ok, ma ricordati i consigli di WiZaRd la prossima volta.

Ciao

[Gatto89]

Direi che la cosa spontanea e migliore qui sia il primo teorema di omomorfismo

[mistake89]

Non sono un moderatore, ma ho sempre creduto che i forum avessero altra funzione che il solo chiedere e ricevere. Il forum è anche condivisione, ti invito pertanto a postare la tua risoluzione in modo che possa essere d'aiuto a qualche probabile futura richiesta simile, o magari per avere certezza che tu abbia fatto bene!

Con simpatia

[WiZaRd]

Quoto mistake89.

[natia88]

io ho risolto così:

sia \( \displaystyle {h}:{G}\to{{G}}^{{2}} \) t.c. \( \displaystyle {g{\to}}{{g}}^{{2}} \) allora \( \displaystyle {h}{\left({a}{b}\right)}={{\left({a}{b}\right)}}^{{2}} \) e poichè G è abeliano \( \displaystyle ={{a}}^{{2}}\cdot{{b}}^{{2}}={h}{\left({a}\right)}\cdot{h}{\left({b}\right)} \).
Ker(h)={g appartenente a G: \( \displaystyle {{g}}^{{2}}={e} \)}={g appartenente a G : \( \displaystyle {g{=}}{{g}}^{{-{{1}}}} \)}=H elemento neutro di G/H.
h è surgettivo perchè per ogni \( \displaystyle {{g}}^{{2}} \) appartenente a G esiste g appartenente a G: \( \displaystyle {h}{\left({g}\right)}={{g}}^{{2}} \) quindi per il primo teorema di omomorfismo esiste un isomorfismo tale che G/H è isomorfo a G2.