Lorenzo Pantieri ha scritto:Lorenzo Pantieri ha scritto:Mi scuso per la domanda banale.
Visto che in questa discussione sono stati menzionati (addirittura) l'ipotesi del continuo, l'assioma di scelta e il lemma di Zorn, forse la domanda non era così banale...
Comunque continuo a capirci poco. Mi piacerebbe capire se \( \displaystyle {R} \) e \( \displaystyle {R}\times{R} \) sono isomorfi come gruppi additivi o no. Se lo sono, mi piacerebbe vedere almeno un isomorfismo. Se non lo sono, mi piacerebbe vedere una dimostrazione che usi solo i concetti di gruppo e di morfismo tra gruppi.
Magari chiedo troppo!
Certo, vedere che \( \displaystyle {Z} \) e \( \displaystyle {Z}\times{Z} \) non sono isomorfi come gruppi additivi è semplicissimo. Quasi altrettanto semplice è provare che \( \displaystyle {Q} \) e \( \displaystyle {Q}\times{Q} \) non sono isomorfi come gruppi additivi (l'idea che ho riportato nel mio secondo intervento funziona, in questo caso). Con \( \displaystyle {R} \) la cosa pare più difficile.
Ciao,
L.
Concordo che la domanda non era banale.
Quando scrivi che con \( \displaystyle \mathbb{R} \) la cosa pare piu' difficile mi viene da rispondere che non c'e' da stupirsi - dato che e' falso.
Puo' essere che io abbia sbagliato, ma un isomorfismo, mi pareva di averlo esibito e casomai toccherebbe a a te l'onere della confutazione.
Comunque ti riporto i passi della mia argomentazione in modo che forse puoi individuare i punti che non ti convincono
1) Esiste una base per \( \displaystyle \mathbb{R} \) come spazio vettoriale su \( \displaystyle \mathbb{Q} \) (per questo serve l'assioma della scelta).
Cio' significa che esiste un insieme \( \displaystyle {\left(\phi_{{i}}\right)}_{{{i}\in{I}}} \) tale che ogni numero reale \( \displaystyle {x} \) si scrive in maniera unica
come \( \displaystyle {x}=\sum_{{{i}\in{I}}}{q}_{{i}}\phi_{{i}} \) per \( \displaystyle {q}_{{i}}\in\mathbb{Q} \) e \( \displaystyle {q}_{{i}}={0} \) tranne un numero finito di indici.
2) L'insieme \( \displaystyle {I} \) e' infinito (altrimenti \( \displaystyle \mathbb{R} \) sarebbe numerabile); si puo' vedere che \( \displaystyle {I} \) e' piu' che numerabile
ma questo mi pare che non serva.
3) Per una proprieta' nota degli insiemi infiniti \( \displaystyle {I} \) e' equipotente a \( \displaystyle {\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\times{I} \). Dunque esiste una
bigezione \( \displaystyle {h}:{I}\to{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace}\times{I} \)
4) Se poniamo \( \displaystyle \Phi_{{{1},{i}}}\:={\left(\phi_{{i}},{0}\right)} \) e \( \displaystyle \Phi_{{{2},{i}}}\:={\left({0},\phi_{{i}}\right)} \) allora \( \displaystyle {\left(\Phi_{{{j},{i}}}\right)}_{{{j}\in{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace},{i}\in{I}}} \) e'
una base per \( \displaystyle \mathbb{R}\times\mathbb{R} \): dato \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)} \) si ha \( \displaystyle {x}=\sum_{{{i}\in{I}}}{q}_{{{1},{i}}}\phi_{{i}} \) e \( \displaystyle {y}=\sum_{{{i}\in{I}}}{q}_{{{2},{i}}}\phi_{{i}} \)
per opportuni \( \displaystyle {q}_{{{j},{i}}} \), \( \displaystyle {j}\in{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace} \), \( \displaystyle {i}\in{I} \), nulli eccetto un numero finito di indici; allora
\( \displaystyle {\left({x},{y}\right)}=\sum_{{{j}\in{\left\lbrace{1},{2}\right\rbrace},{i}\in{I}}}{q}_{{{j},{i}}}\Phi_{{{j},{i}}} \)
5) Costruiamo un isomorfismo tra \( \displaystyle \mathbb{R} \) e \( \displaystyle \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) (come spazi vettoriali su \( \displaystyle \mathbb{Q} \)) mandando ogni \( \displaystyle \phi_{{i}} \)
in \( \displaystyle \Phi_{{{h}{\left({i}\right)}}} \): sara' allora
\( \displaystyle {L}{\left(\sum_{{{i}\in{I}}}{q}_{{i}}\phi_{{i}}\right)}\:=\sum_{{{i}\in{I}}}{q}_{{i}}\Phi_{{{h}{\left({i}\right)}}} \)
Dato che \( \displaystyle {h} \) e' una bigezione \( \displaystyle {L} \) e' un isomorfismo - permettimi di non scrivere la dim. di questo punto,
che e' abbastanza standard.
In particolare \( \displaystyle {L} \) e' un isomorfismo tra i gruppi additivi.
You are in a comfortable tunnel like hall.
To the east there is a round green door.
>OPEN DOOR
>GO EAST
)
