Isomorfismo fra prodotti semidiretti

[alvinlee88]

Non riesco a dimostrare formalmente questo fatto:

\( \displaystyle \mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z}\times_{{\phi}}\mathbb{Z}\//{15}\mathbb{Z} \) (prodotto semidiretto di \( \displaystyle \mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z} \) e \( \displaystyle \mathbb{Z}\//{15}\mathbb{Z} \) mediante \( \displaystyle \phi:\mathbb{Z}\//{15}\mathbb{Z}{r}\rightarrow{{\left(\mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z}\right)}}^{{\times}} \), omomorfismo definito da \( \displaystyle \phi{\left({a}\right)}={{2}}^{{a}} \))
è isomorfo a \( \displaystyle {\left(\mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z}\times_{{\phi}}\mathbb{Z}\//{3}\mathbb{Z}\right)}\times\mathbb{Z}\//{5}\mathbb{Z} \).
A senso mi torna per il fatto che se \( \displaystyle {A},{B},{C} \) sono gruppi abeliani vale che \( \displaystyle {H}{o}{m}{\left({A}\times{B},{C}\right)} \) è isomorfo a \( \displaystyle {H}{o}{m}{\left({A},{C}\right)}\times{H}{o}{m}{\left({B},{C}\right)} \), e inoltre \( \displaystyle \mathbb{Z}\//{15}\mathbb{Z} \) è isomorfo a \( \displaystyle \mathbb{Z}\//{3}\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\//{5}\mathbb{Z} \), e infine \( \displaystyle {H}{o}{m}{\left(\mathbb{Z}\//{5}\mathbb{Z},{{\left(\mathbb{Z}\//{7}\mathbb{Z}\right)}}^{{\times}}\right)} \) è il gruppo banale perchè \( \displaystyle {\gcd{{\left({5},{6}\right)}}}={1} \).
Questo mi convince abbastanza, ma qualcuno potrebbe dare una dimostrare bella esauriente di questo fatto, ossai definire l'isomorfismo con tutti i crismi? Io non riesco a scriverla. E magari, se ne è aconoscenza, di generalizzazioni?

[alvinlee88]

Ok credo di esserci riuscito, grazie comunque, e credo di aver trovato la generalizzazione di cui questo è un caso particolare. Magari se interessa la posto.

[WiZaRd]

Se hai tempo e voglia posta, magari potrebbe tornare utile in futuro.

[alvinlee88]

Notazione: con \( \displaystyle H \times_\phi K \) indico il prodotto semidiretto fra i gruppi \( \displaystyle H \) e \( \displaystyle K \) con \( \displaystyle \phi: K \rightarrow Aut(H) \) omomorfismo di gruppi, e con \( \displaystyle H \times K \) il prodotto diretto.
Lemma: Se \( \displaystyle A,B,C \) sono tre gruppi, con \( \displaystyle C \) abeliano, allora \( \displaystyle Hom(A \times B,C) \cong Hom(A,C) \times Hom(B,C) \) , mediante la \( \displaystyle G(f)= (f \circ i_A, f \circ i_B) \) , dove con \( \displaystyle i_A \) e \( \displaystyle i_B \) indico le immersioni.

Proposizione:
Siano \( \displaystyle G,H,K \) tre gruppi, con \( \displaystyle G \) abeliano. Allora \( \displaystyle G \times_\phi (H \times K) \cong (G \times_{\phi_1} H) \times_{\phi_2} K \) mediante la \( \displaystyle (g,(h,k)) \mapsto ((g,h),k) \) , dove, detto \( \displaystyle (\tau,\sigma)=(\phi \circ i_H,\phi \circ i_K) \) l'immagine di \( \displaystyle \phi \) tramite l'isomorfismo del lemma precedente,
ho posto \( \displaystyle \phi_1=\tau \) e \( \displaystyle \phi_2:K \rightarrow Aut(G \times_{\phi_1} H) \) definita da \( \displaystyle \phi_{2 k}(g,h)=(\sigma_k(g),h) \) .


dim:
Che l'applicazione sia bigettiva è ovvio, basta dimostrare che sia un omomorfismo di gruppi, ossia basta mostrare, indicando con \( \displaystyle \star \) e \( \displaystyle \star \star \) le operazioni binarie nei due gruppi \( \displaystyle G \times_\phi (H \times K) \) e \( \displaystyle (G \times_{\phi_1} H) \times_{\phi_2} K \) , e con \( \displaystyle \bullet \) l'operazione in \( \displaystyle A \times_{\phi_1} H \) , che \( \displaystyle F[(g,(h,k)) \star (g',(h',k'))]=F[(g,(h,k))]\star \star F[(g',(h',k'))] \) . Il primo membro è

\( \displaystyle F[(g+\phi_{(h,k)}(g'),(hh',kk'))]=((g+\phi_{(h,k)}(g'),hh'),kk') \) , mente il secondo è
\( \displaystyle ((g,h),k)\star \star ((g',h'),k')=((g,h)\bullet \phi_{2 k}(g',h'),kk') \) \( \displaystyle =((g,h)\bullet (\sigma_k(g'),h'),kk')=((g+\phi_{1 h}[\sigma_k(g')],hh'),kk') \)
quindi si tratta di dimostrare che
\( \displaystyle g+\phi_{1 h}[\sigma_k(g')] = g+\phi_{(h,k)}(g') \) , e cio è vero poichè \( \displaystyle \sigma_k=\phi_{(e_H,k)} \) , \( \displaystyle \phi_{1 h}=\tau_h=\phi_{(h,e_K)} \) , ed essendo \( \displaystyle (h,k)=(e_H,k)(h,e_K) \) , si ha \( \displaystyle \phi_{(h,k)}=\phi_{(e_h,k)} \circ \phi_{(h,e_k}) \) poichè la \( \displaystyle G \) del lemma è omomorfismo.

Applicazione:
Nel caso del mio primo post, \( \displaystyle \phi \circ i_{Z_5} \) è l'omomorfismo che manda tutto in \( \displaystyle 1 \) poichè \( \displaystyle gcd(5,6)=1 \) , da cui \( \displaystyle \times_{\phi_2}=\times \) .

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