isomorfismo tra gruppi di Galois

[angus89]

Mi serve dimostrare questo lemma
Siano \( \displaystyle E \) ed \( \displaystyle F \) due sottocampi di \( \displaystyle L \)
Sia \( \displaystyle E \) un'estensione di Galois su \( \displaystyle E \cap F \) ed \( \displaystyle F \) un'estensione di Galois su \( \displaystyle E \cap F \)
Allora vale il seguente risultato
\( \displaystyle Aut \left( \frac{EF}{F} \right) \simeq Aut \left( \frac{E}{E \cap F} \right) \)

L'idea è quella di usare la restrizione, ovvero mostrare che il seguente è un isomorfismo
\( \displaystyle \Phi Aut \left( \frac{EF}{F} \right) \rightarrow Aut \left( \frac{E}{E \cap F} \right) \)

Dove \( \displaystyle \Phi(\sigma)=\sigma|_E \)

Ovvero mandiamo un isomorfismo nella restizione al campo \( \displaystyle E \)

La prima cosa da fare è quella di dimostrare che
\( \displaystyle \sigma(E)=E \) per avere appunto una definizione sensata, e non riesco a farlo vedere.

Anche qui l'idea era di utilizzare il seguente teorema (vedi TEOREMA DI ESTENSIONE AI CAMPI DI SPEZZAMENTO )
http://www.matematicamente.it/forum/estensione-di-isomorfismi-per-sottocampi-t49195.html

sarà semplice ma non mi riesce proprio di concludere

[alvinlee88]

Un elemento \( \displaystyle \sigma \) di \( \displaystyle Gal(EF/F) \) è un omomorfismo da \( \displaystyle EF \) in sè tale che se lo restringi a \( \displaystyle F \) fa l'identità. Ora \( \displaystyle \Phi(\sigma) \) ristretto a \( \displaystyle E \cap F \subset F \) è l'identità, quindi dalla normalità di \( \displaystyle E/{E \cap F} \) segue che \( \displaystyle \Phi (\sigma) (E)=E \) .