Iterazione somma cubi cifre e 153

[Gi8]

definito \( \displaystyle f(n) \) come la somma dei cubi delle cifre di \( \displaystyle n \) ,
è vero che esiste \( \displaystyle N \in \mathbb{N} \) tale che \( \displaystyle f^N(n)=153 \) per ogni \( \displaystyle n \) multiplo di tre?

Direi di no.
Prendiamo questa successione:
\( \displaystyle {a}_{{1}}={111} \)
\( \displaystyle {a}_{{{n}+{1}}}= \) numero formato da \( \displaystyle {a}_{{n}} \) cifre tutte uguali a \( \displaystyle {1} \).

ad esempio \( \displaystyle {a}_{{2}} \) è formato da centoundici cifre tutte uguali a \( \displaystyle {1} \):
\( \displaystyle {a}_{{2}}={111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111} \)
Già \( \displaystyle {a}_{{3}} \) è un po' lunghetto da scrivere...

Abbiamo le seguenti proprietà (banali):
1) ogni \( \displaystyle {a}_{{n}} \) è un multiplo di \( \displaystyle {3} \)
2) \( \displaystyle \forall{n}\in\mathbb{N} \) si ha \( \displaystyle {a}_{{{n}+{1}}}\gt{a}_{{n}} \)
2) \( \displaystyle {f{{\left({a}_{{{n}+{1}}}\right)}}}={a}_{{{n}}} \)

Quindi \( \displaystyle {{f}}^{{{n}}}{\left({a}_{{{n}+{1}}}\right)}={f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}={f{{\left({111}\right)}}}={3} \)

Se per assurdo esistesse \( \displaystyle {N}\in\mathbb{N} \) tale che \( \displaystyle {{f}}^{{N}}{\left({x}\right)}={153} \) per ogni \( \displaystyle {x} \) multiplo di \( \displaystyle {3} \),
allora, preso \( \displaystyle {x}={a}_{{{N}+{1}}} \) abbiamo che \( \displaystyle {{f}}^{{{N}}}{\left({x}\right)}={3}\ne{153} \). Assurdo

Che dite, va bene?

[Rggb]

Carinissima.

Stavo provando ad usare i '9' per una dimostrazione simile (per assurdo), e mi ero incartato incredibilmente.

[Martino]

Prendiamo questa successione:
\( \displaystyle {a}_{{1}}={111} \)
\( \displaystyle {a}_{{{n}+{1}}}= \) numero formato da \( \displaystyle {a}_{{n}} \) cifre tutte uguali a \( \displaystyle {1} \).

E' vero!

Direi che questa è un'apologia dell'inutilità (formale) delle verifiche sperimentali.

[Gi8]

Quanti sono gli \( \displaystyle {x} \), multipli positivi di \( \displaystyle {3} \) con cifre tutte diverse da zero, tali che \( \displaystyle {{f}}^{{1}}{\left({x}\right)}={f{{\left({x}\right)}}}={153} \)?

E quanti sono quelli tali che \( \displaystyle {{f}}^{{2}}{\left({x}\right)}={153} \) (con \( \displaystyle {{f}}^{{1}}{\left({x}\right)}\ne{153} \))?

[DMNQ]

Quanti sono gli \( \displaystyle {x} \), multipli positivi di \( \displaystyle {3} \) con cifre tutte diverse da zero, tali che \( \displaystyle {{f}}^{{1}}{\left({x}\right)}={f{{\left({x}\right)}}}={153} \)?

E quanti sono quelli tali che \( \displaystyle {{f}}^{{2}}{\left({x}\right)}={153} \) (con \( \displaystyle {{f}}^{{1}}{\left({x}\right)}\ne{153} \))?

Ho trovato \( \displaystyle {2}{200}{212}{301}{680}{014} \) numeri \( \displaystyle {x} \) che verificano \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={153} \) . Forse ho sbagliato ?

Che cosa pensate del problema seguente :
Se si prende un qualsiasi numero \( \displaystyle {n}\in\mathbb{N}\text{*}\ \) e si calcola la somma \( \displaystyle {S}{\left({n}\right)}={a}+{{b}}^{{2}}+{{c}}^{{3}}+{{d}}^{{4}}+\ldots \)
dove \( \displaystyle {a},{b},{c},{d},\ldots \) sono le cifre del numero \( \displaystyle {n} \) in base 10 ( \( \displaystyle {n}={a}+{b}\cdot{10}+{c}\cdot{{10}}^{{2}}+{d}\cdot{{10}}^{{3}}+\ldots \) )
allora la successione delle iterate \( \displaystyle {S}{\left({n}\right)},{S}{\left({S}{\left({n}\right)}\right)},{S}{\left({S}{\left({S}{\left({n}\right)}\right)}\right)},\ldots \) converge , stabilendo , verso uno dei
numeri \( \displaystyle {1},{2},\ldots,{9} \) . E vero ?