Iterazione somma cubi cifre e 153

[Martino]

Ciao!

Non mi pare si sia mai parlato sul forum di questo fatto curioso: se si prende un qualsiasi multiplo di \( \displaystyle 3 \) e si itera l'operazione "somma dei cubi delle cifre in base dieci" sembra si arrivi sempre a \( \displaystyle 153 \) (e a questo punto il processo è finito perché \( \displaystyle 153 \) è uguale alla somma dei cubi delle sue cifre).

Vedete qui (1) e qui (2).

Sapete se questo fatto è solo sperimentale o se qualcuno l'ha dimostrato?

Per cominciare uno dovrebbe dimostrare che \( \displaystyle 153 \) è l'unico multiplo di \( \displaystyle 3 \) che coincide con la somma dei cubi delle sue cifre. Non mi pare un problema banale. Edit: mi correggo, è abbastanza facile, basta procedere nel modo ovvio.

[Martino]

Ecco, ho trovato. Non è difficile come pensavo, quindi

Moderatore: Martino
sposto in Giochi Matematici.

Avrei un'altra domanda ora: il numero di iterate che portano a 153 è limitato o no?

[robbstark]

Per quanto riguarda il primo punto, anche se hai già risolto, faccio vedere come lo farei io, per chiederti se magari sei riuscito a ottenerlo più velocemente.

Cerco un numero a 2 cifre:
Le cifre devono ovviamente essere minori o uguali a 4, ma dovendo anche essere multiplo di 3, le uniche possibilità sono 33, 24, 42, 30, che ovviamente non sono uguali alla somma dei cubi delle proprie cifre.

Cerco un numero a 3 cifre:
possibilità (tenendo conto che la somma delle cifre è a 3 cifre, e che deve essere multipla di 3): 963, 960, 954, 951, 942, 933, 930, 900, 873, 870, 864, 861, 852, 843, 840, 831, 822, 810, 774, 771, 765, 762, 753, 750, 744, 741, 732, 720, 711, 666, 663, 660, 654, 651, 642, 633, 630, 600, 555, 552, 543, 540, 531, 522, 510, 444, 441, e permutazioni delle cifre.
Purtroppo sono tantissime prove da fare, anche se non molto lunghe, perchè non serve fare calcoli precisi.

Cerco un numero a 4 cifre:
Deve essere più piccolo di 2916 (=729*4). Se è più grande di 2000, le altre tre cifre sono tutte 9, ma 2999 non è multiplo di 3. Negli altri casi: 1998, 1995, 1992, 1986, 1983, 1980, 1977, 1974, 1971, 1965, 1887, 1884, 1881, e permutazioni.
Anche qui procedo con brutali verifiche.

Il numero non può avere più di 4 cifre.


Infine, non ho capito se sei riuscito a dimostrare qualcosa in più di questo risultato.

[Martino]

Per quanto riguarda il primo punto

Qual è il "primo punto"?

[robbstark]

Per quanto riguarda il primo punto

Qual è il "primo punto"?

Dimostrare che 153 è l'unico multiplo di 3 che coincide con la somma dei cubi delle sue cifre.

[Martino]

So risolvere l'esercizio che ho proposto, altrimenti non avrei postato in Giochi Matematici

Il numero non può avere più di 4 cifre.

Questo è il punto. Come lo dimostri? Se dimostri questo non dovrebbe risultarti difficile poi mostrare che quella successione converge a 153.

[robbstark]

Dato un numero di \( \displaystyle {n} \) cifre, la somma dei cubi più alta si ha se il numero è formato interamente da \( \displaystyle {9} \), per cui la somma è minore o uguale a \( \displaystyle {729}{n} \), ma \( \displaystyle {729}{n}\lt{{10}}^{{{n}+{1}}} \) per \( \displaystyle {n}\gt{4} \), quindi se partiamo da un numero con più di \( \displaystyle {4} \) cifre otterremo numero con meno cifre rispetto al numero iniziale. Dopo un po' di passaggi avremo un numero con non più di \( \displaystyle {4} \) cifre.

Continuo:
\( \displaystyle {729}\cdot{4}={2916} \), quindi dopo un po' avremo un numero minore di \( \displaystyle {2916} \). Ora il multiplo di \( \displaystyle {3} \) che mi dà la somma dei cubi delle cifre più alta è il \( \displaystyle {1998} \), che mi dà \( \displaystyle {1971} \). Quindi dopo un po' avremo un numero minore di \( \displaystyle {1971} \).
Vedendo un po' come si possono combinare le somme di cubi di cifre singole, ieri ho visto che gli unici numeri di \( \displaystyle {4} \) cifre la cui somma dei cubi delle cifre resta di \( \displaystyle {4} \) cifre sono \( \displaystyle {1965} \), \( \displaystyle {1887} \), \( \displaystyle {1884} \), \( \displaystyle {1881} \) e permutazioni di questi. Le somme di cubi corrispondenti sono rispettivamente: \( \displaystyle {1071} \), \( \displaystyle {1368} \), \( \displaystyle {1089} \), \( \displaystyle {1026} \). Pertanto, se si ha un numero a \( \displaystyle {4} \) cifre, è inevitabile passare a uno di \( \displaystyle {3} \) o meno cifre.

Attenzione: finora ho mostrato che la procedura non può convergere ad un numero di \( \displaystyle {4} \) o più cifre, ma non ho dimostrato che converge. E' possibile infatti ottenere un numero di \( \displaystyle {4} \) cifre a partire da un numero di \( \displaystyle {3} \) cifre.

Per adesso mi fermo qui. Certo, se anche arrivassi a conclusione, non posso dire di avere seguito una bella strada.

[Rggb]

Dimostrare che il numero non può avere più di 4 cifre è quasi banale: \( \displaystyle {{9}}^{{3}}={729} \) ...

Non ho capito bene che cosa intendi invece per numero "limitato" di iterate.

[Martino]

Dato un numero di \( \displaystyle {n} \) cifre, la somma dei cubi più alta si ha se il numero è formato interamente da \( \displaystyle {9} \), per cui la somma è minore o uguale a \( \displaystyle {729}{n} \), ma \( \displaystyle {729}{n}\lt{{10}}^{{{n}+{1}}} \) per \( \displaystyle {n}\gt{4} \), quindi se partiamo da un numero con più di \( \displaystyle {4} \) cifre otterremo numero con meno cifre rispetto al numero iniziale. Dopo un po' di passaggi avremo un numero con non più di \( \displaystyle {4} \) cifre.

Ecco, io mi ero incasinato un po' di più, comunque il punto è che questo argomento dimostra anche la convergenza (a meno di un numero finito di controlli). Infatti dimostra che se un numero ha più di quattro cifre allora quando faccio la somma dei cubi delle cifre "scendo", in altre parole dimostra che per verificare la convergenza basta controllare tutti i multipli di 3 da 3 a 9999. Questo si fa a mano o con un programma, per esempio qui.

Non ho capito bene che cosa intendi invece per numero "limitato" di iterate.

Intendo questo: definito \( \displaystyle f(n) \) come la somma dei cubi delle cifre di \( \displaystyle n \) , è vero che esiste \( \displaystyle N \in \mathbb{N} \) tale che \( \displaystyle f^N(n)=153 \) per ogni \( \displaystyle n \) multiplo di tre? Probabilmente no, ma non ci ho ancora pensato.

[Rggb]

[ Allora avevo intuito giusto. ]

Non credo possa essere limitato, anche se dimostrare questo fatto non mi sembra banale...