[Giochino] - L'altezza della montagna

[Delirium]

Passeggiando in montagna, Alice ed i suoi amici arrivano in un prato pianeggiante e vedono davanti a loro un'alta montagna, divisa dal prato da un largo burrone. Alcuni si chiedono quanto si elevi la cima della montagna rispetto al prato in cui si trovano, ma non sanno come fare per calcolarlo. Alice scarabocchia su un foglio e poi fa così: si mette in un punto \(A\) del prato e misura l'angolo \(\alpha\) sotto cui vede la cima; poi cammina nella direzione della cima fino ad un punto \(B\) e misura l'angolo \(\beta\) sotto cui vede la cima da \(B\); infine misura accuratamente il segmento \(AB\). Dopodiché dice: "l'altezza della cima rispetto al prato è uguale a \[\frac{|AB|\sin\beta \sin\alpha}{\sin(\beta - \alpha)}\]

Alice ha ragione?

[cenzo]

Direi di si.

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Chiamo C la sommità della montagna e H la sua proiezione sul prato:
\( \displaystyle |AB|=|AH|-|BH|=|CH| \cot \alpha - |CH| \cot \beta = |CH|\ ( \cot \alpha - \cot \beta) \to |CH| = \frac{|AB|}{\cot \alpha - \cot \beta} = \frac{|AB|\sin\beta \sin\alpha}{\sin(\beta - \alpha)} \)
Per verificare l'ultima identità si può usare la formula di sottrazione del seno.

[Delirium]

@cenzo:

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Esatto!

[cenzo]

Bene
Supponiamo ora di non trascurare la curvatura terrestre (assumiamo una sfera di raggio \( R=6371\ \text{km} \) )

Quanto è alta la montagna se \( \alpha=55° \; \beta=60° \; AB=464\ \text{m} \) ?

Quale errore si commette trascurando la sfericità ?

[Delirium]

Modellizzando la montagna e assumendo che la sua forma sia conica, ci si rende conto che tale cono ha la base leggermente ricurva verso l'interno a causa della sfericità della terra su cui è aderente. Detto \(r\) il raggio della base del suddetto cono, si avrà che l'altezza della calotta sferica che "rientra" nel cono è pari a \(R - \sqrt{R^{2}-r^{2}}\)... Stai domandandomi questo?

[cenzo]

No, non intendevo quello, non importa la forma della montagna (così come nella domanda originaria).
In effetti la domanda che ho posto è poco chiara. Provo ad essere più preciso.

Con i dati assegnati, dalla formula precedente, valida nell'ipotesi di terra "piatta", si ottiene un'altezza di circa \( 3776.74\ \text{m} \).

Se consideriamo che la terra è curva, viene meno l'ipotesi che ci ha condotto a quella formula.
La verticale passante per A e la verticale passante per B non sono più parallele, ma formano un angolo al centro (della Terra), piccolo ma non nullo.

Gli angoli \( \alpha\) e \(\beta\) sono misurati rispetto all'orizzonte "locale" (gli "orizzonti" di A e B stavolta sono diversi).
La distanza \(|AB|\) è la misura di un arco di circonferenza.
L'altezza della montagna è sempre la distanza dalla sua sommità (puntata con la misura dei due angoli) alla superficie della Terra.
Aggiungo anche l'ipotesi che A e B si trovano sulla superficie terrestre (il prato è circa al livello del mare )

Con questa nuova ipotesi si vuole confrontare l'altezza "vera" della montagna con quella approssimata ottenuta trascurando la sfericità della Terra.

[MaMo]

Dai miei calcoli l'altezza reale della montagna è 3780,38 m.

[cenzo]

Direi che ci siamo, a me risultava 3780.36 m. Quindi un errore di -3.62 m trascurando la curvatura.

Edit: per i dati, mi ero ispirato al monte Fuji

[Delirium]

Pardon, mi ero perso gli sviluppi...

@cenzo: sono necessarie conoscenze di geometria sferica per calcolare l'altezza del monte nel secondo caso? Non che ci abbia pensato tanto, ma così di primo acchito non mi son venute idee migliori

[cenzo]

@Delirium
No, è sufficiente un po' di trigonometria piana (eventualmente anche la geometria analitica). Servirebbe un bel disegno.. ora provo a farlo con Geogebra e lo aggiungo qui