La congettura di Collatz

[Picozzi]

Ciao a tutti sono Saverio Picozzi.
Ho un problema urgente che riguarda la teoria dei numeri, + precisamente sulla concettura di Collatz.
A quanto pare, sono riuscito a dare una 'presunta' dimostrazione di tale congettura Vorrei che diate una controllata per vedere se ci sono errori.

Grazie della gentile attenzione.

Saverio Picozzi

[Picozzi]

Dimostrazione:
I) Se n è una potenza di 2, l’asserto è banale, infatti ponendo n=2^k la sequenza è:
\( \displaystyle {\left[{{2}}^{{k}};{{2}}^{{{k}-{1}}};{{2}}^{{{k}-{2}}};…;{{2}}^{{2}};{{2}}^{{1}};{{2}}^{{0}}={1}\right]} \)
II) Se n è un numero pari non potenza di 2, si giungerà sempre ad un numero dispari.
Infatti, Nella scomposizione in fattori primi di n si ha che:
∃!i ∈N∶n=2^i D con D dispari
Dunque la sequenza di n nell’algoritmo diverrebbe:

\( \displaystyle {\left[{\left({n}={{2}}^{{i}}{D};{{\left({2}\right)}}^{{{i}-{1}}}{D};…{{2}}^{{1}}{D};{D};…\right]}\right.} \)

Dunque dobbiamo dimostrare che l’algoritmo termini considerando solo i numeri dispari.
Supponiamo quindi che n sia dispari.

III) Se \( \displaystyle {n}=\frac{{{{4}}^{{k}}-{1}}}{{3}} \) (numero di Collatz), il successivo numero nella sequenza è proprio \( \displaystyle {{4}}^{{k}} \), che essendo anche una potenza di 2, per la I) l’algoritmo terminerà.

IV) Se \( \displaystyle {D}_{{1}} \) è un qualsiasi altro numero dispari non di Collatz, dimostreremo che si giungerà ad un numero di Collatz, e quindi per la II) e la I) si giungerà al termine.

Supponiamo per assurdo che la sequenza abbia infiniti numeri primi dispari non di Collatz, chiamamoli:
\( \displaystyle {D}_{{1}};{D}_{{2}};…{D}_{{m}};… \)

Dopo ogni \( \displaystyle {D}_{{i}} \) L’algoritmo prevede di eseguire sempre \( \displaystyle {3}{D}_{{i}}+{1} \) che è pari si ha quindi che:


\( \displaystyle {1}\){3}{D}_{{1}}+{1}={{2}}^{{{j}_{{{1}}}}}{D}_{{2}}; \)
\( \displaystyle {2}\){3}{D}_{{2}}+{1}={{2}}^{{{j}_{{2}}}}{D}_{{3}}; \)
\( \displaystyle {3}\){3}{D}_{{3}}+{1}={{2}}^{{{j}_{{3}}}}{D}_{{4}}; \)
…
\( \displaystyle {m}\){3}{D}_{{m}}+{1}={{2}}^{{{j}_{{m}}}}{D}_{{{m}+{1}}}; \)
…

Isolando \( \displaystyle {D}_{{1}} \) dalla 1) si ha

\( \displaystyle {D}_{{1}}=\frac{{{{2}}^{{{j}_{{{1}}}}}{D}_{{2}}-{1}}}{{3}} \)
Isolando \( \displaystyle {D}_{{2}} \) dalla 2) e sostituendo nella 1) si ha:

\( \displaystyle {D}_{{1}}=\frac{{{{2}}^{{{j}_{{1}}+{j}_{{2}}}}{D}_{{3}}}}{{{3}}^{{2}}}-\frac{{{2}}^{{{j}_{{1}}}}}{{{3}}^{{2}}}-\frac{{1}}{{3}} \)

Ripetendo il Ragionamento fino a un generico \( \displaystyle {D}_{{m}} \) si ha:

\( \displaystyle {D}_{{1}}=\frac{{{{2}}^{{{j}_{{1}}+{j}_{{2}}+{j}_{{3}}+&#{8943};{j}_{{m}}}}{D}_{{{m}+{1}}}}}{{{3}}^{{m}}}-\frac{{{2}}^{{{j}_{{1}}+{j}_{{2}}+{j}_{{3}}+&#{8943};{j}_{{{m}-{1}}}}}}{{{3}}^{{m}}}-\frac{{{2}}^{{{j}_{{1}}+{j}_{{2}}+{j}_{{3}}+&#{8943};{j}_{{{m}-{2}}}}}}{{{3}}^{{{m}-{1}}}}-\frac{{{2}}^{{{j}_{{1}}+{j}_{{2}}+{j}_{{3}}+&#{8943};{j}_{{{m}-{3}}}}}}{{{3}}^{{{m}-{2}}}}…-\frac{{{2}}^{{{j}_{{1}}+{j}_{{2}}}}}{{{3}}^{{3}}}-\frac{{{2}}^{{{j}_{{1}}}}}{{{3}}^{{2}}}-\frac{{1}}{{3}}={Z}_{{{\left({m}\right)}}} \)

Guardiamo il primo addendo al secondo membro nell’equazione qui in alto (è l’unico addendo positivo).

\( \displaystyle \frac{{{{2}}^{{{j}_{{1}}+{j}_{{2}}{\left(+{j}\right)}_{{3}}+&#{8943};{j}_{{m}}}}{D}_{{{m}+{1}}}}}{{{3}}^{{m}}}={A}_{{{\left({m}\right)}}} \)

Se \( \displaystyle {j}_{{1}}+{j}_{{2}}{\left(+{j}\right)}_{{3}}+&#{8943};{j}_{{m}}={m}, \) si ha

\( \displaystyle {j}_{{1}}={j}_{{2}}{\left(={j}\right)}_{{3}}=&#{8943};{j}_{{m}}={1}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{i}{\mathcal{{o}}}{m}{e}{l}{a}{s}{e}{q}{u}{e}{n}{z}{a}{a}{m}{m}{e}{\mathtt{{e}}}\in{f{\in}}{i}{t}{i}\nu{m}{e}{r}{i}{d}{i}{s}{p}{a}{r}{i}{a}{l}{l}{\quad\text{or}\quad}{a}{m}&#{8594};+&#{8734};\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}{u}{n}{q}{u}{e}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)lim ⁡A_((m)) ⁡=lim (2/3)^m D_(m+1)=0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{M}{a}{a}{l}{l}{\quad\text{or}\quad}{a} \)D_1<0\( \displaystyle {A}{s}{s}{u}{r}{d}{o}!!!\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{D}{u}{n}{q}{u}{e}{s}{i}{h}{a} \)j_1+j_2 +j_3+⋯j_m>m\( \displaystyle ,{m}{a}{e}{s}{e}{g{{u}}}{e}{n}{d}{o}{d}{i}\nu{o}{v}{o}{i}{l}\lim{i}{t}{e}{p}{e}{r}{t}{u}{\mathtt{{o}}}{i}{l}{\sec{{o}}}{n}{d}{o}{m}{e}{m}{b}{r}{o}\ne{l}{l}’{e}{q}{u}{a}{z}{i}{o}\ne\in{a}\lt{o},{s}{i}{h}{a}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)lim ⁡Z_((m) )= lim ⁡A_((m)) \( \displaystyle {P}{e}{r}{l}’{\quad\text{or}\quad}{d}\in{e}{d}{e}{g{{l}}}{i}\in{f{\in}}{i}{t}{i},{m}{a}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)lim ⁡A_((m)) = +∞ \( \displaystyle {P}{e}{r}{l}{o}{s}{t}{e}{s}{s}{o}{m}{o}{t}{i}{v}\odot\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{M}{a}{a}{l}{l}{\quad\text{or}\quad}{a} \)D_1→+∞$; Assurdo!!!

Dunque, la sequenza ammette un numero finito di numeri dispari.

Supponiamo ancora per assurdo che l’ultimo di essi non sia un numero di Collatz, allora il successivo numero è un numero pari non potenza di 2, e quindi per la II) si giungerà ad un’ulteriore numero dispari, e quindi è assurdo. Dunque l’ultimo numero dispari della sequenza è un numero di Collatz e quindi per la III) il ciclo avrà termine.

Dal momento che abbiamo esaurito ogni tipo di numero naturale nelle I) II) III) IV) l’algoritmo di Collatz avrà sempre termine per ogni n.

C.V.D

[Martino]

Ciao,

io vedo delle incongruenze.

\( \displaystyle \lim_{{m}}{A}_{{{\left({m}\right)}}}=\lim_{{m}}{{\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}}^{{m}}{D}_{{{m}+{1}}}={0} \)

Come fai a dire che quel limite è zero? Per dedurlo penso che dovresti avere più informazioni sui \( \displaystyle {D}_{{m}} \) (osserva che la successione \( \displaystyle {D}_{{m}} \) è per ipotesi illimitata).

Dunque si ha \( \displaystyle {j}_{{1}}+{j}_{{2}}+{j}_{{3}}+&#{8943};{j}_{{m}}\gt{m} \), ma eseguendo di nuovo il limite per tutto il secondo membro nell’equazione in alto, si ha

\( \displaystyle \lim_{{m}}{Z}_{{{\left({m}\right)}}}=\lim_{{m}}{A}_{{{\left({m}\right)}}} \) Per l’ordine degli infiniti, ma
\( \displaystyle \lim_{{m}}{A}_{{{\left({m}\right)}}}=+\infty \) Per lo stesso motivo.

Ma come mai prima il limite veniva zero e adesso infinito? L'unica cosa che è cambiata è che \( \displaystyle {j}_{{1}}+\ldots+{j}_{{m}}\gt{m} \), e questo non mi pare sufficiente per concludere che quel limite è infinito: se infatti fosse costantemente \( \displaystyle {j}_{{1}}+\ldots+{j}_{{m}}={m}+{1} \) avresti il limite di \( \displaystyle {2}{{\left(\frac{{2}}{{3}}\right)}}^{{m}}{D}_{{{m}+{1}}} \) che è solo il doppio del limite di cui sopra (quindi in questo caso se il limite di prima era zero allora è zero anche questo).

Inoltre nelle tue argomentazioni hai dimostrato che non può essere \( \displaystyle {j}_{{1}}+\ldots+{j}_{{m}}={m} \) per ogni \( \displaystyle {m} \), ma ciò non esclude che questo possa essere vero per qualche \( \displaystyle {m} \).
Quindi non è lecito dedurre (come invece mi pare tu faccia) che \( \displaystyle {j}_{{1}}+\ldots+{j}_{{m}}\gt{m} \) per ogni \( \displaystyle {m} \).