La locale compattezza è una proprietà topologica

[squalllionheart]

Vorrei sapere se il ragionamento va bene.
Devo dimostrare che la locale compattezza è una proprietà topologica.
Se X e Y sono omeomorfi tramite \( \displaystyle {F} \) e \( \displaystyle {X} \) localmente compatto allora qualunque aperto \( \displaystyle {U}_{{x}} \) di \( \displaystyle {x}\in{X} \) esisterà un intorno \( \displaystyle {K} \) compatto.Ora \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\in{f{{\left({K}\right)}}}\subset{f{{\left({U}_{{x}}\right)}}} \), osservo che f omeomorfismo dunque \( \displaystyle {f{{\left({K}\right)}}} \) e \( \displaystyle {f{{\left({U}_{{x}}\right)}}} \) aperti, inoltre \( \displaystyle {K} \) era un compatto e l'immagine di un compatto tramite applicazioni continue è compatta.
Dovrebbe andar bene... credo...